【OpenCV 例程200篇】75. Numpy 實現圖像傅里葉變換

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2.3 二維離散傅里葉變換（DFT）

對于二維圖像處理，通常使用 $x,y$ 表示離散的空間域坐標變量，用 $u,v$ 表示離散的頻率域變量。二維離散傅里葉變換（DFT）和反變換（IDFT）為：

$$\begin{array}{rl}F(u,v)& =\sum _{x=0}^{M?1}\sum _{y=0}^{N?1}f(x,y)e^{?j2\pi (ux/M+vy/N)}\\ f(x,y)& =\frac{1}{MN}\sum _{u=0}^{M?1}\sum _{v=0}^{N?1}F(u,v)e^{j2\pi (ux/M+vy/N)}\end{array}$$
二維離散傅里葉變換也可以用極坐標表示：
$$F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)=|F(u,v)|e^{j?(u,v)}$$
傅里葉頻譜（Fourier spectrum）為：
$$|F(u,v)|=[R^2(u,v)+I^2(u,v){]}^{1/2}$$
傅里葉相位譜（Fourier phase spectrum）為：
$$?(u,v)=arctan[I(u,v)/R(u,v)]$$
傅里葉功率譜（Fourier power spectrum）為：
$$P(u,v)=|F(u,v){|}^2=R^2(u,v)+I^2(u,v)$$

空間取樣和頻率間隔是相互對應的，頻率域所對應的離散變量間的間隔為：$\Delta u=1/M\Delta T，\Delta v=1/N\Delta Z$。即：頻域中樣本之間的間隔，與空間樣本之間的間隔及樣本數量的乘積成反比。

空間域濾波器和頻率域濾波器也是相互對應的，二維卷積定理是在空間域和頻率域濾波之間建立等價關系的紐帶：
$$(f?h)(x,y)?(F?H)(u,v)$$
這表明 F 和 H 分別是 f 和 h 的傅里葉變換；f 和 h 的空間卷積的傅里葉變換，是它們的變換的乘積。

因此，計算兩個函數的空間卷積，可以直接在空間域計算，也可以在頻率域計算：先計算每個函數的傅里葉變換，再對兩個變換相乘，最后進行傅里葉反變換轉換回空間域。

也就是說，空間域濾波器和頻率域濾波器實際上是相互對應的，有些空間域濾波器在頻率域通過傅里葉變換實現會更方便、更快速。

2.4 Numpy 實現圖像傅里葉變換

Numpy 中的 np.fft.fft2() 函數可以實現圖像的傅里葉變換 。

函數說明：

numpy.fft.fft2(a, s=None, axes=(- 2, - 1), norm=None) → out

參數說明：

• a：輸入數組，一維或多維數組，可以是復數形式
• s：輸出數組的形狀（每個變換軸的長度），對應于 fft(x,n) 中的 n，可選項
• out：輸出數組，復數形式的一維或多維數組（complex ndarray）

注意事項：

用于二維圖像傅里葉變換時，輸入數組 a 是 numpy 二維數組（灰度圖像）或三維數組（彩色圖像）。

輸出結果是復數形式 $(Real+j?Imag)$ 的數組，不能直接用于顯示圖像。為了顯示傅里葉變換結果的圖像，需要將數組的值調整到 [0,255] 的灰度空間內。

經過 np.fft.fft2() 函數實現傅里葉變換得到的圖片頻譜信息，幅度譜的最大值（低頻分量）在左上角 (0,0) 處。為了便于觀察，通常用 np.fft.fftshift() 函數將低頻分量移動到頻域圖像的中心位置。

函數說明：

numpy.fft.fftshift(x, axes=None) → y

參數說明：

• x：輸入數組，一維或多維數組
• axes：整數，或輸入數組形狀的元組，用于指定移動的軸，可選項
• y：輸出數組

例程 8.10：二維圖像的離散傅里葉變換（Numpy）

# 8.10：Numpy 實現二維離散傅里葉變換normalize = lambda x: (x - x.min()) / (x.max() - x.min() + 1e-6)imgGray = cv2.imread("../images/Fig0424a.tif", flags=0) # flags=0 讀取為灰度圖像# imgGray = cv2.imread("../images/imgBall.png", flags=1) # flags=0 讀取為灰度圖像# 傅里葉變換# fft = np.fft.fft2(imgGray.astype(np.float32))fft = np.fft.fft2(imgGray) # np.fft.fft2 實現傅里葉變換# 非中心化，計算幅度譜和相位譜ampSpectrum = np.sqrt(np.power(fft.real, 2) + np.power(fft.imag, 2)) # 幅度譜print("ampSpectrum max={}, min={}".format(ampSpectrum.max(), ampSpectrum.min()))# phase = np.arctan2(fft.imag, fft.real) # 計算相位角(弧度制)# phiSpectrum = phase / np.pi*180 # 將相位角轉換為 [-180, 180]phiSpectrum = np.angle(fft)# 中心化，將低頻分量移動到頻域圖像的中心fftShift = np.fft.fftshift(fft) # 將低頻分量移動到頻域圖像的中心# 中心化后的幅度譜ampSpeShift = np.sqrt(np.power(fftShift.real, 2) + np.power(fftShift.imag, 2))ampShiftNorm = np.uint8(normalize(ampSpeShift)*255) # 歸一化為 [0,255]# 幅度譜做對數變換ampSpeLog = np.log(1 + ampSpeShift) # 幅度譜做對數變換以便于顯示ampSpeLog = np.uint8(normalize(ampSpeLog)*255) # 歸一化為 [0,255]# np.fft.ifft2 實現圖像的逆傅里葉變換invShift = np.fft.ifftshift(fftShift) # 將低頻逆轉換回圖像四角imgIfft = np.fft.ifft2(invShift) # 逆傅里葉變換，返回值是復數數組imgRebuild = np.abs(imgIfft) # 將復數數組調整至灰度空間plt.figure(figsize=(9, 6))plt.subplot(231), plt.title("Original image"), plt.axis('off')plt.imshow(imgGray, cmap='gray')plt.subplot(232), plt.title("FFT phase spectrum"), plt.axis('off')plt.imshow(phiSpectrum, cmap='gray')plt.subplot(233), plt.title("Rebuild image with IFFT"), plt.axis('off')plt.imshow(imgRebuild, cmap='gray')plt.subplot(234), plt.title("FFT amplitude spectrum"), plt.axis('off')plt.imshow(ampSpectrum, cmap='gray')plt.subplot(235), plt.title("FFT-shift amplitude"), plt.axis('off')plt.imshow(ampSpeShift, cmap='gray')plt.subplot(236), plt.title("Log-trans of FFT amp"), plt.axis('off')plt.imshow(ampSpeLog, cmap='gray')plt.tight_layout()plt.show()

程序說明：

圖中未中心化的幅度譜（FFT amp spe）也并不是完全黑色，在圖像的四角位置都有微小的亮區域，但是很難觀察到，這也是對幅度譜進行中心化處理（fftShift）的原因。

（本節完）

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總結

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