【OpenCV 例程200篇】76. OpenCV 實現圖像傅里葉變換

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2.3 二維離散傅里葉變換（DFT）

對于二維圖像處理，通常使用 $x,y$ 表示離散的空間域坐標變量，用 $u,v$ 表示離散的頻率域變量。二維離散傅里葉變換（DFT）和反變換（IDFT）為：

$$\begin{array}{rl}F(u,v)& =\sum _{x=0}^{M?1}\sum _{y=0}^{N?1}f(x,y)e^{?j2\pi (ux/M+vy/N)}\\ f(x,y)& =\frac{1}{MN}\sum _{u=0}^{M?1}\sum _{v=0}^{N?1}F(u,v)e^{j2\pi (ux/M+vy/N)}\end{array}$$
二維離散傅里葉變換也可以用極坐標表示：
$$F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)=|F(u,v)|e^{j?(u,v)}$$
傅里葉頻譜（Fourier spectrum）為：
$$|F(u,v)|=[R^2(u,v)+I^2(u,v){]}^{1/2}$$
傅里葉相位譜（Fourier phase spectrum）為：
$$?(u,v)=arctan[I(u,v)/R(u,v)]$$
傅里葉功率譜（Fourier power spectrum）為：
$$P(u,v)=|F(u,v){|}^2=R^2(u,v)+I^2(u,v)$$

空間取樣和頻率間隔是相互對應的，頻率域所對應的離散變量間的間隔為：$\Delta u=1/M\Delta T，\Delta v=1/N\Delta Z$。即：頻域中樣本之間的間隔，與空間樣本之間的間隔及樣本數量的乘積成反比。

空間域濾波器和頻率域濾波器也是相互對應的，二維卷積定理是在空間域和頻率域濾波之間建立等價關系的紐帶：
$$(f?h)(x,y)?(F?H)(u,v)$$
這表明 F 和 H 分別是 f 和 h 的傅里葉變換；f 和 h 的空間卷積的傅里葉變換，是它們的變換的乘積。

2.5 OpenCV 實現圖像傅里葉變換（cv.dft）

使用 OpenCV 中的 cv.dft() 函數也可以實現圖像的傅里葉變換，cv.idft() 函數實現圖像傅里葉逆變換。

函數說明：

cv.dft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]]) → dstcv.idft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]]) → dst

參數說明：

• src：輸入圖像，單通道灰度圖像，使用 np.float32 格式
• dst：輸出圖像，圖像大小與 src 相同，數據類型由 flag 決定
• flag：轉換標識符
  • cv.DFT_INVERSE：用一維或二維逆變換取代默認的正向變換
  • cv.DFT_SCALE：縮放比例標識，根據元素數量求出縮放結果，常與DFT_INVERSE搭配使用
  • cv.DFT_ROWS: 對輸入矩陣的每行進行正向或反向的傅里葉變換，常用于三維或高維變換等復雜操作
  • cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT：對一維或二維實數數組進行正向變換，默認方法，結果是由 2個通道表示的復數陣列，第一通道是實數部分，第二通道是虛數部分
  • cv.DFT_REAL_OUTPUT：對一維或二維復數數組進行逆變換，結果通常是一個尺寸相同的復數矩陣

注意事項：

輸入圖像 src 是 np.float32 格式，如圖像使用 np.uint8 格式則必須先轉換 np.float32 格式。

默認方法 cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT 時，輸入 src 是 np.float32 格式的單通道二維數組，輸出 dst 是 2個通道的二維數組，第一通道 dft[:,:,0] 是實數部分，第二通道 dft[:,:,1] 是虛數部分。

不能直接用于顯示圖像。可以使用 cv.magnitude() 函數將傅里葉變換的結果轉換到灰度 [0,255]。

idft(src, dst, flags) 等價于 dft(src, dst, flags=DFT_INVERSE)。

OpenCV 實現傅里葉變換，計算速度比 Numpy 更快。

轉換標識符為 cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT 時，cv.dft() 函數的輸出是 2個通道的二維數組，使用 cv.magnitude() 函數可以實現計算二維矢量的幅值 。

函數說明：

cv.magnitude(x, y[, magnitude]) → dst

參數說明：

• x：一維或多維數組，也表示復數的實部，浮點型
• y：一維或多維數組，也表示復數的虛部，浮點型，數組大小必須與 x 相同
• dst：輸出數組，數組大小和數據類型與 x 相同，運算公式為：

$$dst(I)=\sqrt{x(I{)}^2+y(I{)}^2}$$

傅里葉變換及相關操作的取值范圍可能不適于圖像顯示，需要進行歸一化處理。 OpenCV 中的 cv.normalize() 函數可以實現圖像的歸一化。

函數說明：

cv.normalize(src, dst[, alpha[, beta[, norm_type[, dtype[, mask]]]]]) → dst

參數說明：

• src：輸入圖像
• dst：輸出結果，與輸入圖像同尺寸同類型
• alpha：歸一化后的最小值，可選項，默認值為0
• beta：歸一化后的最大值，可選項，默認值為1
• norm_type：歸一化類型
  • NORM_INF：Linf 范數（絕對值的最大值）
  • NORM_L1：L1 范數（絕對值的和）
  • NORM_L2：L2 范數（歐幾里德距離），默認類型
  • NORM_MINMAX：線性縮放，常用類型
• dtype：可選項，默認值 -1，表示輸出矩陣與輸入圖像類型相同
• mask：掩模遮罩，可選項，默認無遮罩

傅里葉變換在理論上需要 $O(MN{)}^2$ 次運算，非常耗時；快速傅里葉變換只需要 $O(MNlog(MN))$ 次運算就可以完成。

OpenCV 中的傅里葉變換函數 cv.dft() 對于行數和列數都可以分解為 $2^p?3^q?5^r$ 的矩陣的計算性能最好。為了提高運算性能，可以對原矩陣的右側和下方補 0，以滿足該分解條件。OpenCV 中的 cv.getOptimalDFTSize() 函數可以實現圖像的最優 DFT 尺寸擴充，適用于 cv.dft() 和 np.fft.fft2()。

函數說明：

cv.getOptimalDFTSize(versize) → retval

參數說明：

• versize：數組大小
• retval：DFT 擴充的最優數組大小

例程 8.11：二維圖像的離散傅里葉變換（OpenCV）

# 8.11：OpenCV 實現二維圖像的離散傅里葉變換imgGray = cv2.imread("../images/Fig0424a.tif", flags=0) # flags=0 讀取為灰度圖像# cv2.dft 實現圖像的傅里葉變換imgFloat32 = np.float32(imgGray) # 將圖像轉換成 float32dft = cv2.dft(imgFloat32, flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) # 傅里葉變換dftShift = np.fft.fftshift(dft) # 將低頻分量移動到頻域圖像的中心# 幅度譜# ampSpe = np.sqrt(np.power(dft[:,:,0], 2) + np.power(dftShift[:,:,1], 2))dftAmp = cv2.magnitude(dft[:,:,0], dft[:,:,1]) # 幅度譜，未中心化dftShiftAmp = cv2.magnitude(dftShift[:,:,0], dftShift[:,:,1]) # 幅度譜，中心化dftAmpLog = np.log(1 + dftShiftAmp) # 幅度譜對數變換，以便于顯示# 相位譜phase = np.arctan2(dftShift[:,:,1], dftShift[:,:,0]) # 計算相位角(弧度制)dftPhi = phase / np.pi*180 # 將相位角轉換為 [-180, 180]print("dftMag max={}, min={}".format(dftAmp.max(), dftAmp.min()))print("dftPhi max={}, min={}".format(dftPhi.max(), dftPhi.min()))print("dftAmpLog max={}, min={}".format(dftAmpLog.max(), dftAmpLog.min()))# cv2.idft 實現圖像的逆傅里葉變換invShift = np.fft.ifftshift(dftShift) # 將低頻逆轉換回圖像四角imgIdft = cv2.idft(invShift) # 逆傅里葉變換imgRebuild = cv2.magnitude(imgIdft[:,:,0], imgIdft[:,:,1]) # 重建圖像plt.figure(figsize=(9, 6))plt.subplot(231), plt.title("Original image"), plt.axis('off')plt.imshow(imgGray, cmap='gray')plt.subplot(232), plt.title("DFT Phase"), plt.axis('off')plt.imshow(dftPhi, cmap='gray')plt.subplot(233), plt.title("Rebuild image with IDFT"), plt.axis('off')plt.imshow(imgRebuild, cmap='gray')plt.subplot(234), plt.title("DFT amplitude spectrum"), plt.axis('off')plt.imshow(dftAmp, cmap='gray')plt.subplot(235), plt.title("DFT-shift amplitude"), plt.axis('off')plt.imshow(dftShiftAmp, cmap='gray')plt.subplot(236), plt.title("Log-trans of DFT amp"), plt.axis('off')plt.imshow(dftAmpLog, cmap='gray')plt.tight_layout()plt.show()

（本節完）

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總結

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