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【OpenCV 例程200篇】72. 一维离散傅里叶变换

發布時間：2025/3/15 编程问答 32 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【OpenCV 例程200篇】72. 一维离散傅里叶变换小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

【OpenCV 例程200篇】72. 一維離散傅里葉變換

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1.3 一維離散傅里葉變換

數字信號和數字圖像都是采樣得到的離散變量。

對原函數的變換取樣后的數據

$F~(μ)=∫?∞+∞f~(t)e?j2πμtdt=∫?∞+∞∑n=?∞∞f(t)δ(t?nΔT)e?j2πμtdt=∑n=?∞∞∫?∞+∞f(t)δ(t?nΔT)e?j2πμtdt=∑n=?∞∞fne?j2πμnΔT\begin{aligned} \tilde{F}(\mu) &= \int_{-\infty}^{+\infty} \tilde{f}(t) e^{-j 2 \pi \mu t} dt\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(t) \delta (t-n{\Delta T}) e^{-j 2 \pi \mu t} dt\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta (t-n{\Delta T}) e^{-j 2 \pi \mu t} dt\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_n e^{-j 2 \pi \mu n{\Delta T}}\\ \end{aligned}$

當取樣頻率為 $μ=m/MΔT\mu = m/M \Delta T$ 時，可以得到離散傅里葉變換（DFT）和逆變換公式為：

$Fm=∑n=0M?1fne?j2πμmn/M,m=0,...M?1fn=1M∑m=0M?1Fmej2πμmn/M,n=0,...M?1\begin{aligned} F_m &= \sum_{n=0}^{M-1} f_n e^{-j\ 2\pi \mu mn/M}, &m=0,...M-1\\ f_n &= \frac{1}{M} \sum_{m=0}^{M-1} F_m e^{j\ 2\pi \mu mn/M}, &n=0,...M-1 \end{aligned}$

由于任何周期或非周期函數都可以表示為不同頻率的正弦函數和余弦函數之和的形式，因此用傅里葉變換表示的函數特征完全可以通過傅里葉反變換來重建，而且不會丟失任何信息。這是頻率域圖像處理的數學基礎。

離散傅里葉變換是將離散信號分解為一系列離散三角函數分量，每個三角函數分量都有對應的幅值 A、頻率 f 和相位 $φ\varphi$ 。通過所有分量疊加可以得到原離散信號。

在圖像處理中，通常使用 $x, y$ 表示離散的空間域坐標變量，用 $u, v$ 表示離散的頻率域變量。于是將一維離散傅里葉變換表示為：

$F(u)=∑x=0M?1f(x)e?j2πux/M,u=0,...M?1f(x)=1M∑u=0M?1F(u)ej2πux/M,x=0,...M?1\begin{aligned} F(u) &= \sum_{x=0}^{M-1} f(x) e^{-j\ 2\pi u x/M}, &u=0,...M-1\\ f(x) &= \frac{1}{M} \sum_{u=0}^{M-1} F(u) e^{j\ 2\pi u x/M}, &x=0,...M-1 \end{aligned}$

例程 8.6：一維離散傅里葉變換

# 8.6：一維離散傅里葉變換# 生成方波信號N = 200t = np.linspace(-10, 10, N)dt = t[1] - t[0]sint = np.sin(t)sig = np.sign(sint)fig = plt.figure(figsize=(10, 4))plt.subplot(131), plt.title("source"), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.plot(t, sig)# 離散傅里葉變換fft = np.fft.fft(sig, N) # 離散傅里葉變換fftshift = np.fft.fftshift(fft) # 對稱平移amp = abs(fftshift) / len(fft) # 幅值pha = np.angle(fftshift) # 相位fre = np.fft.fftshift(np.fft.fftfreq(d=dt, n=N)) # 頻率plt.subplot(132), plt.title("DFT"), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.plot(t, fft)# 信號恢復recover = np.zeros(N)for a, p, f in zip(amp, pha, fre):sigCos = a * np.cos(2 * np.pi * f * np.arange(N) * dt + p) # 根據幅度,相位,頻率構造三角函數recover += sigCos # 把這些三角函數都加起來plt.subplot(133), plt.title("recover"), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.plot(t, recover)plt.show()

（本節完）

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Crated：2022-1-15

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總結

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