4.?概率論

4.1?條件概率

已知某個事件A發生的條件下，另一個事件B發生的概率稱為條件概率，記為P(B|A)。看一下P(B|A)與P(A)、P(B)的關系：P(B|A) = P(AB) / P(A)。

條件概率也是概率的一種，所以也符合概率定義的三個條件：

非負性：P(B|A)?≥ 0；

規范性：對于必然事件S，有P(S|A) = 1；

可列可加性：對于兩兩互不相容的事件B1，B2，B3.....，即Bi?·?Bj =??，i?≠ j，i，j = 1，2，......，有P(B1 υ B2 υ ...... | A) = P(B1|A) + P(B2|A) + ......

乘法定理：由條件概率的定義，很容易得到P(AB) = P(B|A)P(A)，其中P(A) > 0；這條公式很容易推廣到P(ABC) = P(C|AB)P(B|A)P(A) = P(A|BC)P(B|C)P(C).

?4.2 全概率公式

設試驗E的樣本空間為S，A為E的一個事件，B1、B2......Bn是S的一個劃分，且P(Bi) > 0 (i=1,2......n)，則

在某些時候，事件A的概率不好求，但是通過全概率公式卻可以很容易求得。

4.3 貝葉斯公式

設試驗E的樣本空間為S。A為E的一個事件，B1、B2......Bn是S的一個劃分，且P(A) > 0, P(Bi) > 0 (i=1,2,.....,n)，則

當對樣本空間的劃分由一對對立事件B與ˉB組成時，全概率公式和貝葉斯公式可以簡化為

貝葉斯公式的應用——訴訟、疾病診斷、垃圾郵件判別

下面來看一則案例：

?

4.4?公式比較

乘法公式、全概率公式與貝葉斯公式

乘法公式是求“幾個事件同時發生”的概率；

全概率公式是求“最后結果”的概率；

貝葉斯公式是已知“最后結果”，求“某個事件”的概率。

先驗概率與后驗概率

P(Bj|A)是在事件A發生的條件下，某個事件Bj發生的概率，稱為“后驗概率”；

Bayes公式又稱為“后驗概率公式”?或 “逆概公式”；

稱P(Bj)為“先驗概率”。

4.5?獨立性與事件

設A、B是兩個事件，如果滿足：P(AB) = P(A)P(B)，則稱事件A、B相互獨立。簡稱A、B獨立。

由事件獨立的定義可以推出：

?

A、B獨立，且P(A) > 0?? P(B|A) = P(B)。

? ? ? ? ? ? ?P(B|A) = P(AB)/P(A) = P(A)P(B) /P(A) = P(B)

若A、B獨立，則A與ˉB、ˉA與ˉB也相互獨立。

? ? ? ? ? ? ?P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|ˉB)P(ˉB) = P(A)P(B) + P(AˉB)

? ? ? ? ? ? ?故P(AˉB)?= P(A) - P(A)P(B) = P(A)(1-P(B))=P(A)P(ˉB)

設A、B、C是三個事件，若滿足

? ?

則稱A、B、C相互獨立。

4.6?相互獨立事件與互斥事件、對立事件

相互獨立事件：兩個事件沒有一點關系。

互斥事件：要么只有其中一個事件發生，要么兩個事件都不發生。

對立事件：兩個之中，只有一個發生。跟互斥事件相比，對立事件必然會有一個事件發生。

互斥事件與對立事件都不是相互獨立事件！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的大数据统计学之概率论(三)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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