作者：Xtaobingmo
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我從抽象形式的角度來說一說。這里的抽象不是說概念的抽象，比如開區間閉區間推廣成開集閉集，而是說玩法上的抽象。

舉一個例子：

網絡上有個視頻——實變函數四川大學陳闖，他一開始基本就是按照陶哲軒實分析的書上的順序講解實數系。這個東西我覺得對于入門測度非常重要。實數他有三部分，第一部分是加減乘除，第二部分是取極限，第三部分是序關系也就是比大小。

先拋開序關系。其實構建實數系是有順序的，先構建起加減乘除系統，也就是說先是個數域。然后再引進極限，構成完備的數域。按照書上的說法就是，從自然數對減法不封閉擴張到整數，整數對加減乘封閉，但是對于除法不封閉，再次擴張到有理數，有理數便是一個對加減乘除封閉的數域。這里的兩次擴張其實從玩法上都是一樣的，第一步做笛卡爾積擴出去，第二步利用等價關系縮回來。實數系是一元數學分析的基礎，舞臺。一元實函數就是實數系到實數系的映射。

數學分析的基礎就是以數字為元素構成的系統——實數系，和數學分析不太一樣，除了實數系以外，實變函數還有一個基礎、舞臺就是以集合為元素構成的系統。下面來模仿實數系構建這個系統。首先對應于數字的加減乘除，也就是代數運算，類似的集合中有交并補差。這里沒有像自然數，整數，有理數，那么麻煩，我們直接一步到位，給出環和代數的概念，代數基本上就是對于交并補差封閉的集合系統，類似于數字的有理數域。

在有限的領域，對于代數運算，我們說數字有加減乘除，集合有交并補差，對于代數運算封閉的系統，數字叫做有理數域，集合就叫做代數（代數就是對于交并補差封閉的集族）。下面進入無限的領域。

我們知道數字定義極限的時候借用了絕對值這樣的概念，集合中沒有這樣的東西，那么可以迂回一下，借助級數這種形式來讓集合的代數運算擴展到分析運算。從數學分析中可以知道，級數就是普通的加法一直加下去，沒完沒了加下去（當然本質上和有限的加法不一樣）。所以級數也就是另一種數列極限的表現方式。那么集合的交并運算也可以采取同樣的方式，一直交下去或者一直并下去，采用這種形式就可以定義集合的分析運算，就是無限交和無限并，當然重點是可列交和可列并。

所以對應于數字的極限運算，集合中的類似于分析運算的東西就是無限交無限并（重點研究特殊的無限，可列運算）然后類似于數字的對取極限封閉的實數域，集合中就是對于可列運算封閉的 σ?代數。

這里注意順序的問題，對極限運算封閉是在對于代數運算封閉的基礎之上的，也就是說對于數字，先得到的是個域，然后再對極限封閉才有了實數域。僅僅對極限封閉隨便一個閉集就行，比如說【0,1】也就是0,1閉區間。對于集合來說是同樣的， σ?代數首先得是個代數，然后再對取極限運算封閉擴張到 σ?代數。如果僅僅考慮極限運算的話，也有類似的概念比如說單調類。

最后我們看到，對于數字有以下這些概念：加減乘除，有理數域，取極限，實數域。

對于集合有以下這些對應的概念：交并補差，代數，可列并可列交， ???????σ?代數。

我們說數學分析是在實數域上展開的，那么其實實變函數是在實數域和 ???????σ?代數上展開的。也就是說實變函數他有兩個舞臺。所以對應的函數也有兩種，實數域到實數域的函數，也就是實函數，還有一種是 ???????σ?代數到實數的函數，也就是集函數。

???????σ?代數在數學分析里是沒有的，我們得到他的方式就是在模仿實數域，在集合系統也就是集族上構建一個對于代數運算和分析運算都封閉的系統來玩分析。對于序結構，集合系統減弱了，他僅僅是個偏序。

再進一步實數域上有數列的概念， ???????σ?代數上也可以有集列的概念。數列有收斂的概念，定義集列收斂的概念還是需要利用數列收斂的充要條件來迂回一下。（大多數推廣都是這樣的，新概念對應于舊概念能推廣的直接推廣，不能推廣的看看有沒有什么充要條件能迂回，避開新的概念沒有的性質）。這里的推廣也體現了實變里面老玩一個東西；造單調。具體的過程就是數列的極限可以使上下極限相等。對應集列造單調給出上下極限，然后上下極限的兩個集合一樣就說是有極限。

把測度理解成給一個集合，然后就對應這個集合的“長度”，這樣理解可以，但是過于局部。除了這種局部理解外，還要知道他和實函數差不多，只不過定義域換成了集合算數系統，也就是 ???????σ?代數。這樣的話一些概念很自然，比如說測度有上半連續下半連續，只要知道實函數的連續就是 很自然的推廣到集函數。

舉一個例子（完）。

這個例子想要表達的意思就是說，數學分析是實變函數的基礎，前置。但是這種承接關系不僅僅是知識上的，還有思想方法和玩法上的。從知識銜接的角度來說，知識僅僅是會而不是非常熟練的話沒關系，大不了我實變一個定理要用到數分的知識我忘了我再回去翻翻書就行了。但是如果不是非常超級熟練的話就很難洞穿知識背后所承載的思想方法和玩法。導致的結果就是學習后續課程的時候要是細扣邏輯，都沒問題，但是看了半天完全不知道這門課在干什么。

從數學分析出發模仿算術系統，我們得到了集合為元素的（集族）算數系統， ???????σ?代數。然后除了實函數，實變比數學分析多了集函數。有了這些工具就有了可測函數，勒貝格積分。當然反過來作為輔助構建積分輔助研究的集函數本身，在實變函數的后邊也進行了一定的研究，也就是說加深了對集函數這種新型函數的理解。集函數拓寬了函數的概念，這一點在廣義函數中能有很好的體現。當然對于實變函數來說重要的還是，引入了新的東西深化了數學分析。

只要能理解玩法這種東西，入門本科的泛函分析也是簡單的。線數代數那點東西是有限維，我再把多元微積分那套東西拿出來，也就是拓撲。有了線性代數的那套形式和拓撲，利用級數的形式化，將空間推進到無窮維。當然說拓撲有點過了，特殊點，度量空間，或者再特殊點，度量和數乘運算保持和諧，范數吧，要么在特殊點，內積。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的漫谈实变函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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