因子分解與域的擴(kuò)展

一、因子分解

我們知道，整數(shù)環(huán)中的每一個(gè)合數(shù)都可以唯一地分解成素?cái)?shù)的乘積； 域 F 上每個(gè)次數(shù)大于零的可約多項(xiàng)式，都可以唯一地分解成不可約多項(xiàng)式的乘積。這是整數(shù)環(huán)和多項(xiàng)式環(huán)中元素的最基本最重要的性質(zhì)之一。下面我們將把整數(shù)環(huán)和多項(xiàng)式環(huán)的一些性質(zhì)推廣到更一般通用的環(huán)上去。

1.1 唯一分解環(huán)

環(huán)的直和分解將大環(huán)分解為小環(huán)，使得結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)單。從整數(shù)的算術(shù)基本定理得到啟發(fā)，我們還可以從乘法分解的角度來(lái)研究環(huán)。要使這個(gè)定向研究得到有用的結(jié)論，還需對(duì)環(huán)作一些限制。既然我們關(guān)注是因子，乘法順序就顯得多余且礙事，所以要求環(huán)是可交換的。另外零因子的討論也是沒(méi)有意義的，故規(guī)定所有非零元素都是正則元。故我們只需討論整環(huán)中元素的乘法分解，為簡(jiǎn)化描述，以下將忽略對(duì)零元素的討論。

和初等數(shù)論中一樣，若 $a$

總結(jié)

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