這是我在兩年前寫的一點東西,現在稍微整理一下，刪去了錯誤的內容，貼到這里.

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一個函數在某一點處連續的定義是：
$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$.
這條式子說的是：對于任意給定的$\varepsilon >0$,都存在$ \delta >0$,使得$|x-a|<\delta$時都有$|f(x)-f(a)|<\varepsilon $.函數在某一點處連續，從這個表達式可以看出，首先，要求函數在該點有定義。其次，在該點的左極限要等于右極限。當一個函數在區間I內每一點都連續，我們說函數在區間I連續.

閉區間上連續函數的零點定理:$f(x)$在閉區間$[a,b]$上連續,$f(a)$$<$0,$f(b)$$>$0.則$f(x)$在$[a,b]$內有零點.

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證明采用高中生熟悉的二分法：如果在二分法過程中，恰好有$x$值使得$f(x)=0$,則命題已經成立；如果沒有這種情況，我們會得到一個閉區間套(注意這里隱含地用到了選擇公理)，恰有一個點屬于這個閉區間套.如果這個點對應的函數值不是零，比如是正的，那么離這個點“很近的”左邊的那個點所對應的函數值也是正的（根據函數的連續性），但是，由二分法的操作表明，左邊的那個點對應的函數值是負的，矛盾。同樣，如果這個屬于所有閉區間的點對應的函數值是負的，也會推出矛盾.因此，這個點對應的函數值只能為零,這就是零點呀.證畢.

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由零點定理很容易推導出介值定理.

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下面談談一致連續與連續：我們知道，一個函數在一個區間上連續意味著該函數在這個區間上的每一點連續，也即，對于這個區間上的任意一個點A，只要點B與點A距離的足夠近，那么點B的函數值和點A的函數值的差異就可以達到你所要求的那個精度，不論你要求的精度是多少. 那么什么是一致連續呢？“一致連續”這個名字取的很好。在某個區間一致連續的函數擁有這個特性：我們只要讓這個區間里任意兩個點的距離小到一定程度，這兩個點對應的函數值的差別就能達到你所希望的任意精度. 一致連續和連續的唯一區別在于：一致連續里的兩個點的選取是任意的，也就是在這個區間里“放之四海而皆準”的，而連續函數就只是死死的守住某個點.如果還不明白的話就這樣想，雖然這樣想有點搞笑：拿著一把梳子梳
頭發，如果你的頭發是連續的，當你梳卡住了以后，你可以通過調整梳子的那些小棒棒的間距使你梳頭發的時候不卡住.每卡住一次，你就調整小棒棒的間距一次。而如果你的頭發是一致連續的話你根本不用這么麻煩，你只用調整梳子小棒棒一次，達到合理精度以后，就能很順暢的一梳到底！

轉載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2013/01/29/3827815.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的连续函数注记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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