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上節課我們主要介紹了非線性分類模型，通過非線性變換，將非線性模型映射到另一個空間，轉換為線性模型，再來進行分類，分析了非線性變換可能會使計算復雜度增加。本節課介紹這種模型復雜度增加帶來機器學習中一個很重要的問題：過擬合（overfitting）。

一、What is Overfitting?

首先，我們通過一個例子來介紹什么bad generalization。假設平面上有5個點，目標函數f(x)是2階多項式，如果hypothesis是二階多項式加上一些小的noise的話，那么這5個點很靠近這個hypothesis，EinEin很小。如果hypothesis是4階多項式，那么這5點會完全落在hypothesis上，Ein=0Ein=0。雖然4階hypothesis的EinEin比2階hypothesis的要好很多，但是它的EoutEout很大。因為根據VC Bound理論，階數越大，即VC Dimension越大，就會讓模型復雜度更高，EoutEout更大。我們把這種EinEin很小，EoutEout很大的情況稱之為bad generation，即泛化能力差。

我們回過頭來看一下VC曲線：

hypothesis的階數越高，表示VC Dimension越大。隨著VC Dimension增大，EinEin是一直減小的，而EoutEout先減小后增大。在d?d?位置，EoutEout取得最小值。在d?VCdVC?右側，隨著VC Dimension越來越大，EinEin越來越小，接近于0，EoutEout越來越大。即當VC Dimension很大的時候，這種對訓練樣本擬合過分好的情況稱之為過擬合（overfitting）。另一方面，在d?VCdVC?左側，隨著VC Dimension越來越小，EinEin和EoutEout都越來越大，這種情況稱之為欠擬合（underfitting），即模型對訓練樣本的擬合度太差，VC Dimension太小了。

bad generation和overfitting的關系可以理解為：overfitting是VC Dimension過大的一個過程，bad generation是overfitting的結果。

一個好的fit，EinEin和EoutEout都比較小，盡管EinEin沒有足夠接近零；而對overfitting來說，Ein≈0Ein≈0，但是EoutEout很大。那么，overfitting的原因有哪些呢？

我們舉個開車的例子，把發生車禍比作成overfitting，那么造成車禍的原因包括：

• 車速太快（VC Dimension太大）；

• 道路崎嶇（noise）；

• 對路況的了解程度（訓練樣本數量N不夠）；

也就是說，VC Dimension、noise、N這三個因素是影響過擬合現象的關鍵。

二、The Role of Noise and Data Size

為了盡可能詳細地解釋overfitting，我們進行這樣一個實驗，試驗中的數據集不是很大。首先，在二維平面上，一個模型的分布由目標函數f(x)（x的10階多項式）加上一些noise構成，下圖中，離散的圓圈是數據集，目標函數是藍色的曲線。數據沒有完全落在曲線上，是因為加入了noise。

然后，同樣在二維平面上，另一個模型的分布由目標函數f(x)（x的50階多項式）構成，沒有加入noise。下圖中，離散的圓圈是數據集，目標函數是藍色的曲線。可以看出由于沒有noise，數據集完全落在曲線上。

現在，有兩個學習模型，一個是2階多項式，另一個是10階多項式，分別對上面兩個問題進行建模。首先，對于第一個目標函數是10階多項式包含noise的問題，這兩個學習模型的效果如下圖所示：

由上圖可知，2階多項式的學習模型Ein=0.050Ein=0.050，Eout=0.127Eout=0.127；10階多項式的學習模型Ein=0.034Ein=0.034，Eout=9.00Eout=9.00。雖然10階模型的EinEin比2階的小，但是其EoutEout要比2階的大得多，而2階的EinEin和EoutEout相差不大，很明顯用10階的模型發生了過擬合。

然后，對于第二個目標函數是50階多項式沒有noise的問題，這兩個學習模型的效果如下圖所示：

由上圖可知，2階多項式的學習模型Ein=0.029Ein=0.029，Eout=0.120Eout=0.120；10階多項式的學習模型Ein=0.00001Ein=0.00001，Eout=7680Eout=7680。雖然10階模型的EinEin比2階的小，但是其EoutEout要比2階的大得多的多，而2階的EinEin和EoutEout相差不大，很明顯用10階的模型仍然發生了明顯的過擬合。

上面兩個問題中，10階模型都發生了過擬合，反而2階的模型卻表現得相對不錯。這好像違背了我們的第一感覺，比如對于目標函數是10階多項式，加上noise的模型，按道理來說應該是10階的模型更能接近于目標函數，因為它們階數相同。但是，事實卻是2階模型泛化能力更強。這種現象產生的原因，從哲學上來說，就是“以退為進”。有時候，簡單的學習模型反而能表現的更好。

下面從learning curve來分析一下具體的原因，learning curve描述的是EinEin和EoutEout隨著數據量N的變化趨勢。下圖中左邊是2階學習模型的learning curve，右邊是10階學習模型的learning curve。

我們的第9次課的筆記 NTU林軒田機器學習基石課程學習筆記9 – Linear Regression已經介紹過了learning curve。在learning curve中，橫軸是樣本數量N，縱軸是Error。EinEin和EoutEout可表示為：

Ein=noiselevel?(1?d+1N)Ein=noiselevel?(1?d+1N)

Eout=noiselevel?(1+d+1N)Eout=noiselevel?(1+d+1N)

其中d為模型階次，左圖中d=2，右圖中d=10。

本節的實驗問題中，數據量N不大，即對應于上圖中的灰色區域。左圖的灰色區域中，因為d=2，EinEin和EoutEout相對來說比較接近；右圖中的灰色區域中，d=10，根據EinEin和EoutEout的表達式，EinEin很小，而EoutEout很大。這就解釋了之前2階多項式模型的EinEin更接近EoutEout，泛化能力更好。

值得一提的是，如果數據量N很大的時候，上面兩圖中EinEin和EoutEout都比較接近，但是對于高階模型，z域中的特征很多的時候，需要的樣本數量N很大，且容易發生維度災難。關于維度災難的詳細生動解釋，請參考我另一篇博文：

機器學習中的維度災難

另一個例子中，目標函數是50階多項式，且沒有加入noise。這種情況下，我們發現仍然是2階的模型擬合的效果更好一些，明明沒有noise，為什么是這樣的結果呢？

實際上，我們忽略了一個問題：這種情況真的沒有noise嗎？其實，當模型很復雜的時候，即50階多項式的目標函數，無論是2階模型還是10階模型，都不能學習的很好，這種復雜度本身就會引入一種‘noise’。所以，這種高階無noise的問題，也可以類似于10階多項式的目標函數加上noise的情況，只是二者的noise有些許不同，下面一部分將會詳細解釋。

三、Deterministic Noise

下面我們介紹一個更細節的實驗來說明 什么時候小心overfit會發生。假設我們產生的數據分布由兩部分組成：第一部分是目標函數f(x)，QfQf階多項式；第二部分是噪聲??，服從Gaussian分布。接下來我們分析的是noise強度不同對overfitting有什么樣的影響?？偣驳臄祿渴荖。

那么下面我們分析不同的(N,σ2)(N,σ2)和(N,Qf)(N,Qf)對overfit的影響。overfit可以量化為Eout?EinEout?Ein。結果如下：

上圖中，紅色越深，代表overfit程度越高，藍色越深，代表overfit程度越低。先看左邊的圖，左圖中階數QfQf固定為20，橫坐標代表樣本數量N，縱坐標代表噪聲水平σ2σ2。紅色區域集中在N很小或者σ2σ2很大的時候，也就是說N越大，σ2σ2越小，越不容易發生overfit。右邊圖中σ2=0.1σ2=0.1，橫坐標代表樣本數量N，縱坐標代表目標函數階數QfQf。紅色區域集中在N很小或者QfQf很大的時候，也就是說N越大，QfQf越小，越不容易發生overfit。上面兩圖基本相似。

從上面的分析，我們發現σ2σ2對overfit是有很大的影響的，我們把這種noise稱之為stochastic noise。同樣地，QfQf即模型復雜度也對overfit有很大影響，而且二者影響是相似的，所以我們把這種稱之為deterministic noise。之所以把它稱為noise，是因為模型高復雜度帶來的影響。

總結一下，有四個因素會導致發生overfitting：

• data size N ↓↓

• stochastic noise σ2↑σ2↑

• deterministic noise Qf↑Qf↑

• excessive power ↑↑

我們剛才解釋了如果目標函數f(x)的復雜度很高的時候，那么跟有noise也沒有什么兩樣。因為目標函數很復雜，那么再好的hypothesis都會跟它有一些差距，我們把這種差距稱之為deterministic noise。deterministic noise與stochastic noise不同，但是效果一樣。其實deterministic noise類似于一個偽隨機數發生器，它不會產生真正的隨機數，而只產生偽隨機數。它的值與hypothesis有關，且固定點x的deterministic noise值是固定的。

四、Dealing with Overfitting

現在我們知道了什么是overfitting，和overfitting產生的原因，那么如何避免overfitting呢？避免overfitting的方法主要包括：

• start from simple model

• data cleaning/pruning

• data hinting

• regularization

• validataion

這幾種方法類比于之前舉的開車的例子，對應如下：

regularization和validation我們之后的課程再介紹，本節課主要介紹簡單的data cleaning/pruning和data hinting兩種方法。

data cleaning/pruning就是對訓練數據集里label明顯錯誤的樣本進行修正（data cleaning），或者對錯誤的樣本看成是noise，進行剔除（data pruning）。data cleaning/pruning關鍵在于如何準確尋找label錯誤的點或者是noise的點，而且如果這些點相比訓練樣本N很小的話，這種處理效果不太明顯。

data hinting是針對N不夠大的情況，如果沒有辦法獲得更多的訓練集，那么data hinting就可以對已知的樣本進行簡單的處理、變換，從而獲得更多的樣本。舉個例子，數字分類問題，可以對已知的數字圖片進行輕微的平移或者旋轉，從而讓N豐富起來，達到擴大訓練集的目的。這種額外獲得的例子稱之為virtual examples。但是要注意一點的就是，新獲取的virtual examples可能不再是iid某個distribution。所以新構建的virtual examples要盡量合理，且是獨立同分布的。

五、總結

本節課主要介紹了overfitting的概念，即當EinEin很小，EoutEout很大的時候，會出現overfitting。詳細介紹了overfitting發生的四個常見原因data size N、stochastic noise、deterministic noise和excessive power。解決overfitting的方法有很多，本節課主要介紹了data cleaning/pruning和data hinting兩種簡單的方法，之后的課程將會詳細介紹regularization和validataion兩種更重要的方法。

注明：

文章中所有的圖片均來自臺灣大學林軒田《機器學習基石》課程

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的台湾大学林轩田机器学习基石课程学习笔记13 -- Hazard of Overfitting的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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