圖像處理中的拉普拉斯算子

(2010-03-10 20:44:14) 轉載▼

標簽： 算子 拉普拉斯變換 灰度 圖像 雜談

分類：圖像處理

1．基本理論

??拉普拉斯算子是最簡單的各向同性微分算子，具有旋轉不變性。一個二維圖像函數 的拉普拉斯變換是各向同性的二階導數，定義為：

?? 為了更適合于數字圖像處理，將該方程表示為離散形式：

?? 另外，拉普拉斯算子還可以表示成模板的形式，如圖5-9所示。圖5-9（a）表示離散拉普拉斯算子的模板，圖5-9（b）表示其擴展模板，圖5-9（c）則分別表示其他兩種拉普拉斯的實現模板。從模板形式容易看出，如果在圖像中一個較暗的區域中出現了一個亮點，那么用拉普拉斯運算就會使這個亮點變得更亮。因為圖像中的邊緣就是那些灰度發生跳變的區域，所以拉普拉斯銳化模板在邊緣檢測中很有用。一般增強技術對于陡峭的邊緣和緩慢變化的邊緣很難確定其邊緣線的位置。但此算子卻可用二次微分正峰和負峰之間的過零點來確定，對孤立點或端點更為敏感，因此特別適用于以突出圖像中的孤立點、孤立線或線端點為目的的場合。同梯度算子一樣，拉普拉斯算子也會增強圖像中的噪聲，有時用拉普拉斯算子進行邊緣檢測時，可將圖像先進行平滑處理。


?? 圖像銳化處理的作用是使灰度反差增強，從而使模糊圖像變得更加清晰。圖像模糊的實質就是圖像受到平均運算或積分運算，因此可以對圖像進行逆運算，如微分運算能夠突出圖像細節，使圖像變得更為清晰。由于拉普拉斯是一種微分算子，它的應用可增強圖像中灰度突變的區域，減弱灰度的緩慢變化區域。因此，銳化處理可選擇拉普拉斯算子對原圖像進行處理，產生描述灰度突變的圖像，再將拉普拉斯圖像與原始圖像疊加而產生銳化圖像。拉普拉斯銳化的基本方法可以由下式表示：

?? 這種簡單的銳化方法既可以產生拉普拉斯銳化處理的效果，同時又能保留背景信息，將原始圖像疊加到拉普拉斯變換的處理結果中去，可以使圖像中的各灰度值得到保留，使灰度突變處的對比度得到增強，最終結果是在保留圖像背景的前提下，突現出圖像中小的細節信息。

4．實驗結果與分析

??圖5-10（a）顯示了一幅花朵的圖片，圖5-10（b）顯示了用圖5-9（a）所示的拉普拉斯模板對該圖像濾波后的結果。由圖可以看出，將原始圖像通過拉普拉斯變換后增強了圖像中灰度突變處的對比度，使圖像中小的細節部分得到增強并保留了圖像的背景色調，使圖像的細節比原始圖像更加清晰。基于拉普拉斯變換的圖像增強已成為圖像銳化處理的基本工具。

總結

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