因為課題需要，開始了譜估計的學習之路，但上網一搜發現沒有啥中文資料，為了方便后來人，寫下此系列文檔。
本文翻譯自kspectra tool theory

理論

Blackman-Tukey 相關圖 和 互譜

相關圖通過使用加窗傅里葉變換實現對一個時間序列自相關函數的譜估計
在1958年，Blackman和Tukey發明了該項技術，該項技術的基礎是Wiener-Khinchin理論，該理論揭示了一個如下的關系：

如果一個時間序列x(t)的傅里葉變換是X(f),同時該時間序列的自相關函數是R，那么R的傅里葉變換是Px(f)=|X(f)|^2，或者說是x（t）的功率譜。

這種方式的功率譜估計方法叫做相關圖法，該工具箱里面還有一個可選的方法叫做周期圖法（以后再講）。
相關圖法和周期圖法常常被用在權值處理后的時間序列或者自相關函數（這樣做可以減少頻譜泄露-（在真實的峰頻率周圍估計出的異常高能譜））
Press 等（1989，pp,423-424）提到

當我們選擇使用N個點做周期圖估計的時候，我們實際上相當于對頻譜乘了一個無限長的。。數據。。通過時域的一個窗函數，該函數的特點是除了采樣時間【N dt】其他時刻都為零，同時在采樣的時間里面它都是1.
這個窗函數尖銳的邊緣使得它在高頻有相當高的能量，這一點給予了被加窗的信號同時導致了譜泄露。

這一點對相關圖法同樣成立。對數據或者相關函數通過不同的錐形窗（中心能量高，邊緣能量衰減快）進行加權處理，是一個傳統且廣受認可的減少譜泄露的方法。

In the Blackman-Tukey approach PX(f) is estimated by

其中 rk是k階延遲自相關估計的系數 M是最大可以獲得延遲量和窗的寬度，wk是加窗函數，該工具箱包含了以下幾個可選的窗：Bartlett（三角窗），Hamming（余弦窗）hanning（輕微改變的余弦窗）也可以不加。

在使用過程中，你可能發現寬度相同的情況下窗的種類對結果影響不大。
因為窗的寬度是更重要的參數。時間序列加窗處理伴隨的對信號的平均會減少該方法的分辨率，頻率間隔從1/N變到加窗后的1/M(e.g,Kay 1988 p.81).因此，更寬的窗意味著更高的譜分辨率。
然而，這里有一個需要權衡的選擇：高分辨率還是低的譜估計方差。考慮一個極限的情況，一個等長（M=N）直接應用FFT變換一個未加窗的數據會導致一個估計理論標準差為等價于在每個頻率點直接估計的相關圖，無論對時間序列采樣多少次（Press et al，1989，p，423）.
對很多短的數據窗處理過的時間序列或者自相關函數進行平均可以有效地提升估計時的獨立樣本數，因此減少了估計的方差。kay（1988，section 4.5）.展示了通過加窗相關圖功率譜估計的每個頻率點的方差是估計的功率方差的2M/3N倍。
因此，這里有一個更窄的窗可以被用來平滑功率譜和減少估計得采樣方差。
經過實踐，Kay（1988）推薦窗應該不要超過原始數據點的1/5或者1/10（為了獲得理想的減小估計方差），同時也不應該太小（為了保持區分兩個接近頻率和獲得想要的譜泄露減少的能力）。
blackman-Tukey功率譜的理論方差估計方法這里有，同時工具箱也提供了由它們構成的誤差棒。
它們既可以被當作估計本身畫出來，也可以當作一個紅噪聲的不確定間隔。在后一種情況下，一個 AR（1）過程會被用來擬合該數據，同時誤差棒會在理論AR（1）譜的中心。
作為一個傳統的方法，相關圖被擴展成提供一個熟悉的標準作為對該工具箱里其他現代譜估計方法的評判依據。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的现代谱估计：Blackman-Tukey 相关图的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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