數(shù)學是打開科學大門的鑰匙。——培根

數(shù)學基礎知識蘊含著處理智能問題的基本思想與方法，也是理解復雜算法的必備要素。今天的種種人工智能技術歸根到底都建立在數(shù)學模型之上，要了解人工智能，首先要掌握必備的數(shù)學基礎知識，具體來說包括：

• 線性代數(shù)：如何將研究對象形式化？

• 概率論：如何描述統(tǒng)計規(guī)律？

• 數(shù)理統(tǒng)計：如何以小見大？

• 最優(yōu)化理論： 如何找到最優(yōu)解？

• 信息論：如何定量度量不確定性？

• 形式邏輯：如何實現(xiàn)抽象推理？

01 線性代數(shù)：如何將研究對象形式化

事實上，線性代數(shù)不僅僅是人工智能的基礎，更是現(xiàn)代數(shù)學和以現(xiàn)代數(shù)學作為主要分析方法的眾多學科的基礎。從量子力學到圖像處理都離不開向量和矩陣的使用。而在向量和矩陣背后，線性代數(shù)的核心意義在于提供了?種看待世界的抽象視角：萬事萬物都可以被抽象成某些特征的組合，并在由預置規(guī)則定義的框架之下以靜態(tài)和動態(tài)的方式加以觀察。

著重于抽象概念的解釋而非具體的數(shù)學公式來看，線性代數(shù)要點如下：線性代數(shù)的本質在于將具體事物抽象為數(shù)學對象，并描述其靜態(tài)和動態(tài)的特性；向量的實質是 n 維線性空間中的靜止點；線性變換描述了向量或者作為參考系的坐標系的變化，可以用矩陣表示；矩陣的特征值和特征向量描述了變化的速度與方向。

總之，線性代數(shù)之于人工智能如同加法之于高等數(shù)學，是一個基礎的工具集。

02 概率論：如何描述統(tǒng)計規(guī)律？

除了線性代數(shù)之外，概率論也是人工智能研究中必備的數(shù)學基礎。隨著連接主義學派的興起，概率統(tǒng)計已經(jīng)取代了數(shù)理邏輯，成為人工智能研究的主流工具。在數(shù)據(jù)爆炸式增長和計算力指數(shù)化增強的今天，概率論已經(jīng)在機器學習中扮演了核心角色。

同線性代數(shù)一樣，概率論也代表了一種看待世界的方式，其關注的焦點是無處不在的可能性。頻率學派認為先驗分布是固定的，模型參數(shù)要靠最大似然估計計算；貝葉斯學派認為先驗分布是隨機的，模型參數(shù)要靠后驗概率最大化計算；正態(tài)分布是最重要的一種隨機變量的分布。

03 數(shù)理統(tǒng)計：如何以小見大？

在人工智能的研究中，數(shù)理統(tǒng)計同樣不可或缺。基礎的統(tǒng)計理論有助于對機器學習的算法和數(shù)據(jù)挖掘的結果做出解釋，只有做出合理的解讀，數(shù)據(jù)的價值才能夠體現(xiàn)。數(shù)理統(tǒng)計根據(jù)觀察或實驗得到的數(shù)據(jù)來研究隨機現(xiàn)象，并對研究對象的客觀規(guī)律做出合理的估計和判斷。

雖然數(shù)理統(tǒng)計以概率論為理論基礎，但兩者之間存在方法上的本質區(qū)別。概率論作用的前提是隨機變量的分布已知，根據(jù)已知的分布來分析隨機變量的特征與規(guī)律；數(shù)理統(tǒng)計的研究對象則是未知分布的隨機變量，研究方法是對隨機變量進行獨立重復的觀察，根據(jù)得到的觀察結果對原始分布做出推斷。

用一句不嚴謹?shù)庇^的話講：數(shù)理統(tǒng)計可以看成是逆向的概率論。?數(shù)理統(tǒng)計的任務是根據(jù)可觀察的樣本反過來推斷總體的性質；推斷的工具是統(tǒng)計量，統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，是個隨機變量；參數(shù)估計通過隨機抽取的樣本來估計總體分布的未知參數(shù)，包括點估計和區(qū)間估計；假設檢驗通過隨機抽取的樣本來接受或拒絕關于總體的某個判斷，常用于估計機器學習模型的泛化錯誤率。

04 最優(yōu)化理論： 如何找到最優(yōu)解？

本質上講，人工智能的目標就是最優(yōu)化：在復雜環(huán)境與多體交互中做出最優(yōu)決策。幾乎所有的人工智能問題最后都會歸結為一個優(yōu)化問題的求解，因而最優(yōu)化理論同樣是人工智能必備的基礎知識。最優(yōu)化理論研究的問題是判定給定目標函數(shù)的最大值（最小值）是否存在，并找到令目標函數(shù)取到最大值 (最小值) 的數(shù)值。?如果把給定的目標函數(shù)看成一座山脈，最優(yōu)化的過程就是判斷頂峰的位置并找到到達頂峰路徑的過程。

通常情況下，最優(yōu)化問題是在無約束情況下求解給定目標函數(shù)的最小值；在線性搜索中，確定尋找最小值時的搜索方向需要使用目標函數(shù)的一階導數(shù)和二階導數(shù)；置信域算法的思想是先確定搜索步長，再確定搜索方向；以人工神經(jīng)網(wǎng)絡為代表的啟發(fā)式算法是另外一類重要的優(yōu)化方法。

05 信息論：如何定量度量不確定性？

近年來的科學研究不斷證實，不確定性就是客觀世界的本質屬性。換句話說，上帝還真就擲骰子。不確定性的世界只能使用概率模型來描述，這促成了信息論的誕生。

信息論使用“信息熵”的概念，對單個信源的信息量和通信中傳遞信息的數(shù)量與效率等問題做出了解釋，并在世界的不確定性和信息的可測量性之間搭建起一座橋梁。

總之，信息論處理的是客觀世界中的不確定性；條件熵和信息增益是分類問題中的重要參數(shù)；KL 散度用于描述兩個不同概率分布之間的差異；最大熵原理是分類問題匯總的常用準則。

06 形式邏輯：如何實現(xiàn)抽象推理？

1956 年召開的達特茅斯會議宣告了人工智能的誕生。在人工智能的襁褓期，各位奠基者們，包括約翰·麥卡錫、赫伯特·西蒙、馬文·閔斯基等未來的圖靈獎得主，他們的愿景是讓“具備抽象思考能力的程序解釋合成的物質如何能夠擁有人類的心智。”通俗地說，理想的人工智能應該具有抽象意義上的學習、推理與歸納能力，其通用性將遠遠強于解決國際象棋或是圍棋等具體問題的算法。

如果將認知過程定義為對符號的邏輯運算，人工智能的基礎就是形式邏輯；謂詞邏輯是知識表示的主要方法；基于謂詞邏輯系統(tǒng)可以實現(xiàn)具有自動推理能力的人工智能；不完備性定理向“認知的本質是計算”這一人工智能的基本理念提出挑戰(zhàn)。

來源：數(shù)據(jù)科學與人工智能

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總結

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