KMP--字符串匹配
原創：http://blog.csdn.net/jiacongxu/article/details/9071491
以下內容參考了這個文章：http://www.inf.fh-flensburg.de/lang/algorithmen/pattern/kmpen.htm
這兩天重新看KMP，發現問題還蠻多的。以前知道KMP怎么用，復雜度如何，但是寫起來總是做不到bug-free。把這兩天重新看的，寫的關于KMP的東西，拿出來總結一下。
首先介紹下KMP：KMP的全名是Knuth-Morris-Pratt algorithm，好吧，其實就是三個作者的名字加起來。它是用來做什么的呢？字符串匹配。下面是摘下來的一段介紹：
“The algorithm of Knuth, Morris and Pratt?[KMP?77]?makes use of the information gained by previous symbol comparisons. It never re-compares a text symbol that has matched a pattern symbol. As a result, the complexity of the searching phase of the Knuth-Morris-Pratt algorithm is in?O(n).
However, a preprocessing of the pattern is necessary in order to analyze its structure. The preprocessing phase has a complexity ofO(m). Since?mn, the overall complexity of the Knuth-Morris-Pratt algorithm is in?O(n)”
?對于暴力的做法，我們枚舉母串的所有字符作為匹配的開始位置，對模式串進行匹配，假設母串長度n，模式串長度m，時間復雜度是O(nm)的。在這個暴力的過程中，我們每次匹配都“從零開始”，忽略了前面的匹配結果給我們帶來的信息，KMP算法巧妙的利用了前面的匹配結果，最大限度的避免重復的匹配，使得算法在最壞情況復雜度為O(n+m)。下面具體講講KMP算法。
KMP的第一步是利用O(m)時間，對模式串進行一個預處理。這一步完全是對于模式串的，跟母串沒有關系。前面提到，暴力做法慢的原因在于，當我已經知道模式串的前k個字符與母串匹配而第k+1個字符不匹配時，我們在母串中選用下一個字符作為匹配開始節點，對模式串從頭開始匹配。但是在前面一次失敗匹配中，我們已經知道有k個字符可以匹配，如果這k個字符符合某些特定條件，我們是不是不需要重新開始匹配，而只需要把模式串的匹配位置往前回滾幾個字符呢？答案當然是肯定的，下面先給出一個例子說明：
在上面的例子中，'d'出現了不匹配，而前面五個字符都是匹配的，按照暴力的做法，現在應該把模式串往后推一個字符，重新開始匹配。KMP算法注意到，對于模式串"abcabd"，現在'd'跟母串'5'的位置出現了不匹配，而“abcab“是匹配成功的，那我們完全可以把模式串往后”推“不止一個字符，我們把它往后推三個字符，就像例子描述的，這樣，母串'5'的位置跟模式串的'c'對在一起了，而前面的"ab"仍然是匹配成功的，也就是說，用暴力做法，模式串應該往后移動一個字符，重新匹配，但KMP缺移動了多個字符，而且也不需要重頭匹配了。
為什么我們發現可以移動三個字符呢？因為對于匹配成功的串”abcab“最長的”前綴等于后綴“的串是”ab“（這里不把字符串本身當做自己的前后綴，不然最長的”前綴等于后綴“一定是串本身）。我假設大家都知道什么是前綴和后綴了（如果不知道，google一下就有了）。想象一下，既然對于現在成功匹配的串長度是len1，如果我知道最長的”前綴等于后綴“的長度為len2，那么我就可以保證把模式串往后推len1-len2個字符之后，模式串還是可以成功匹配到母串的當前位置的（在這個例子中，len1是5，len2是2，母串的當前位置是5）。為什么能保證到？因為前綴等于后綴。把模式串往后推了在匹配，就相當于拿前綴跟后綴匹配，所以，你懂的。
基本上kmp就是這個思路，我們知道當前匹配成功的字符串長度，又知道這個匹配成功的字符串的最長的”前綴等于后綴“的長度，我們就可以知道，我們應該把模式串后移多少個字符去匹配。要找到這個最長的”前綴等于后綴“的長度，KMP也告訴你了，可以用O(m)的復雜度來實現，一般來說，把這個結果存在一個叫next的數組里面。代碼如下：
[cpp]?view plaincopy
為了更直觀的看看next存了什么，用上面給的example，當模式串是”abcabd“時，對應的next為：
模式串：?a ? ?b ? ?c ? ?a ? ?b ? ?d
next: ? ? ?? -1 ? 0 ? ?0 ? ?0 ? ?1 ? ?2 ? ?0 ? ?
next指針告訴了我們，當模式串的第i個位置出現mismatch時，模式串應該跳回到那個位置（i=next[i]）。也就是說，模式串后移了i-next[i]位。next[i]保存的是串p[0:i-1]最長的”前綴等于后綴“的長度。next[0] = -1可以很好的作為一個標志位，說明沒有前后綴符合要求，簡化編程難度。
拿到next數組之后，我們就需要利用next數組進行匹配，由于next數組告訴了我們當出現mismatch時要做的事情，我們只需要當match時，兩個串往后匹配，出現mismatch時，模式串的指針返回到next對應的位置即可。當模式串成功匹配到結束符時，說明找到了一個符合要求的子串。code：
[cpp]?view plaincopy
這個就是KMP的大體框架了，網上也有不少的代碼，寫法不一定相同，但是思路應該是差不多的。
最后就是證明一下為什么這個算法復雜度是O(n+m)的了（在GetNext中我們明明有兩個循環啊~~）：
一. 首先看GetNext為什么是O(m)復雜度的：
首先，next[i+1]<=next[i]+1。這個用反證法很容易就證明到了，如果next[i+1]>next[i]+1，那么我取一個長度為next[i+1]-1的前綴，這個前綴自然可以作為串[0,i-1]的后綴。那么，next[i]就等于next[i+1]-1，這樣就矛盾了。
其次，對于每次while循環里面做的tmp=next[tmp]，tmp的值至少減少1。這個從next本身的定義就可以推出，因為next[i]保存的是串p[0:i-1]最長的”前綴等于后綴“的長度，并且我說了，這里的前后綴不能等于串本身，所以串的前后綴的長度自然小于串本身了，所以next[tmp] < tmp。
? ? 最后，next[i]的值總是>=-1。這個結論比較容易得出了。
? ? ? ? 那么，程序的next從-1開始，每一次的for循環，next最多加1，也就是說next的最大值不超過m-1。另外，如果總的運行while循環的次數不能超過m，否則，next的值將會小于-1（這里得看到，每次tmp的值都初始化為next[i]）。
所以，GetNext的while循環次數最多是m次，所以復雜度還是O(m)。
二. Search的復雜度是O(n)的：
?? 首先看到，跳出循環的條件是*s等于0，那么，如果每次循環都s++的話，循環最多運行n次。這里的問題在于，當進入else的時候，并沒有執行s++，那么，如果else運行了很多次，那么復雜度就可能不是O(n)的，我們需要證明的是，整個while循環運行過程中，else不會被進入超過n次。證明思路跟上面差不多，由于上面已經說了pos=next[pos]使得pos至少減1，而pos不會小于-1（因為等于-1時，if的條件就成立了），然后，每次進入if時，pos只會加1，這就說明，整個循環中，進入else的次數不會多于進入if的次數+1（因為pos初始化為0）。這樣，while循環最多執行2n次，復雜度是O(n)。
整個算法到這里就差不多了，貼一個code，是leetcode上面的題，標準的KMP題目：
Implement strStr()
參考代碼：
[cpp]?view plaincopy
另外要提一下，KMP可以支持wildcard，也就是說如果母串和模式串中含有類似'.'這樣，代表可以匹配任何字符的通配符，KMP也可以處理，復雜度不會有變化。其實思路很簡單，我們在判斷字符是否相等時，用的是*s==*p，如果有通配符，我們只需要把這個等價條件改成*s==*p||*s=='.'||*p=='.'即可。為了通用一點，可以傳入一個cmp函數來處理比較邏輯，不改變代碼其他部分框架：
[cpp]?view plaincopy
總結
以上是生活随笔為你收集整理的KMP--字符串匹配的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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