总结各类损失函数
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1. 損失函數(shù)
損失函數(shù)（Loss function）是用來估量你模型的預(yù)測值?f(x)f(x)?與真實(shí)值?YY?的不一致程度，它是一個非負(fù)實(shí)值函數(shù)，通常用?L(Y,f(x))L(Y,f(x))?來表示。損失函數(shù)越小，模型的魯棒性就越好。損失函數(shù)是經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險函數(shù)的核心部分，也是結(jié)構(gòu)風(fēng)險函數(shù)的重要組成部分。模型的風(fēng)險結(jié)構(gòu)包括了風(fēng)險項(xiàng)和正則項(xiàng)，通常如下所示：?
θ?=argminθ1N∑i=1NL(yi,f(xi;θ))+λ?Φ(θ)θ?=arg?minθ1N∑i=1NL(yi,f(xi;θ))+λ?Φ(θ)
其中，前面的均值函數(shù)表示的是經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險函數(shù)，LL代表的是損失函數(shù)，后面的?ΦΦ?是正則化項(xiàng)（regularizer）或者叫懲罰項(xiàng)（penalty term），它可以是L1，也可以是L2，或者其他的正則函數(shù)。整個式子表示的意思是找到使目標(biāo)函數(shù)最小時的θθ值。
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2. 常用損失函數(shù)
常見的損失誤差有五種：?
1.?鉸鏈損失（Hinge Loss）：主要用于支持向量機(jī)（SVM） 中；?
2.?互熵?fù)p失 （Cross Entropy Loss，Softmax Loss ）：用于Logistic 回歸與Softmax 分類中；?
3.?平方損失（Square Loss）：主要是最小二乘法（OLS）中；?
4.?指數(shù)損失（Exponential Loss）?：主要用于Adaboost 集成學(xué)習(xí)算法中；?
5.?其他損失（如0-1損失，絕對值損失）
2.1 Hinge loss
Hinge loss 的叫法來源于其損失函數(shù)的圖形，為一個折線，通用的函數(shù)表達(dá)式為：
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L(mi)=max(0,1?mi(w))L(mi)=max(0,1?mi(w))
表示如果被正確分類，損失是0，否則損失就是?1?mi(w)1?mi(w)?。
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在機(jī)器學(xué)習(xí)中，Hing 可以用來解?間距最大化?的問題，最有代表性的就是SVM 問題，最初的SVM 優(yōu)化函數(shù)如下：?
argminw,ζ12||w||2+C∑iζist.?yiwTxi≥1?ζiζi≥0argminw,ζ12||w||2+C∑iζist.?yiwTxi≥1?ζiζi≥0
將約束項(xiàng)進(jìn)行變形，則為：?
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ζi≥1?yiwTxiζi≥1?yiwTxi
則損失函數(shù)可以進(jìn)一步寫為：?
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J(w)=12||w||2+C∑imax(0,1?yiwTxi)=12||w||2+C∑imax(0,1?mi(w))=12||w||2+C∑iLHinge(mi)J(w)=12||w||2+C∑imax(0,1?yiwTxi)=12||w||2+C∑imax(0,1?mi(w))=12||w||2+C∑iLHinge(mi)
因此，?SVM 的損失函數(shù)可以看作是 L2-norm 和 Hinge loss 之和。
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2.2 Softmax Loss
有些人可能覺得邏輯回歸的損失函數(shù)就是平方損失，其實(shí)并不是。平方損失函數(shù)可以通過線性回歸在假設(shè)樣本是高斯分布的條件下推導(dǎo)得到，而邏輯回歸得到的并不是平方損失。在邏輯回歸的推導(dǎo)中，它假設(shè)樣本服從伯努利分布（0-1分布），然后求得滿足該分布的似然函數(shù)，接著取對數(shù)求極值等等。而邏輯回歸并沒有求似然函數(shù)的極值，而是把極大化當(dāng)做是一種思想，進(jìn)而推導(dǎo)出它的經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險函數(shù)為：最小化負(fù)的似然函數(shù)（即maxF(y,f(x))→min?F(y,f(x)))maxF(y,f(x))→min?F(y,f(x)))。從損失函數(shù)的視角來看，它就成了Softmax 損失函數(shù)了。
log損失函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式：?
L(Y,P(Y|X))=?logP(Y|X)L(Y,P(Y|X))=?log?P(Y|X)
剛剛說到，取對數(shù)是為了方便計(jì)算極大似然估計(jì)，因?yàn)樵贛LE中，直接求導(dǎo)比較困難，所以通常都是先取對數(shù)再求導(dǎo)找極值點(diǎn)。損失函數(shù)L(Y,P(Y|X))L(Y,P(Y|X))?表達(dá)的是樣本XX?在分類Y的情況下，使概率P(Y|X)P(Y|X)?達(dá)到最大值（換言之，就是利用已知的樣本分布，找到最有可能（即最大概率）導(dǎo)致這種分布的參數(shù)值；或者說什么樣的參數(shù)才能使我們觀測到目前這組數(shù)據(jù)的概率最大）。因?yàn)閘og函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以logP(Y|X)logP(Y|X)?也會達(dá)到最大值，因此在前面加上負(fù)號之后，最大化P(Y|X)P(Y|X)?就等價于最小化LL?了。
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邏輯回歸的P(Y=y|x)P(Y=y|x)?表達(dá)式如下（為了將類別標(biāo)簽y統(tǒng)一為11?和00?）：
其中?
hθ(x)=11+exp(?f(x))hθ(x)=11+exp?(?f(x))
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2.3 Squared Loss
最小二乘法是線性回歸的一種，OLS將問題轉(zhuǎn)化成了一個凸優(yōu)化問題。在線性回歸中，它假設(shè)樣本和噪聲都服從高斯分布（中心極限定理），最后通過極大似然估計(jì)（MLE）可以推導(dǎo)出最小二乘式子。最小二乘的基本原則是：最優(yōu)擬合直線應(yīng)該是使各點(diǎn)到回歸直線的距離和最小的直線，即平方和最小。
平方損失（Square loss）的標(biāo)準(zhǔn)形式如下：?
L(Y,f(X))=(Y?f(X))2L(Y,f(X))=(Y?f(X))2
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當(dāng)樣本個數(shù)為nn時，此時的損失函數(shù)為：?
L(Y,f(X))=∑i=1n(Y?f(X))2L(Y,f(X))=∑i=1n(Y?f(X))2
Y?f(X)Y?f(X)??表示殘差，整個式子表示的是殘差平方和?，我們的目標(biāo)就是最小化這個目標(biāo)函數(shù)值，即最小化殘差的平方和。
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在實(shí)際應(yīng)用中，我們使用均方差（MSE）作為一項(xiàng)衡量指標(biāo)，公式如下：?
MSE=1n∑i=1n(Yi~?Yi)2MSE=1n∑i=1n(Yi~?Yi)2
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2.4 Exponentially Loss
損失函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式是：?
L(Y,f(X))=exp[?Yf(X)]L(Y,f(X))=exp?[?Yf(X)]
exp-loss，主要應(yīng)用于 Boosting 算法中，在Adaboost 算法中，經(jīng)過?mm?次迭代后，可以得到?fm(x)fm(x)?：?
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fm(x)=fm?1(x)+αmGm(x)fm(x)=fm?1(x)+αmGm(x)
Adaboost 每次迭代時的目的都是找到最小化下列式子的參數(shù)αα?和GG：?
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argminα,G=∑i=1Nexp[?yi(fm?1(xi)+αG(xi))]arg?minα,G=∑i=1Nexp?[?yi(fm?1(xi)+αG(xi))]
易知，Adabooost 的目標(biāo)式子就是指數(shù)損失，在給定nn個樣本的情況下，Adaboost 的損失函數(shù)為：?
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L(Y,f(X))=12∑i=1nexp[?yif(xI)]L(Y,f(X))=12∑i=1nexp?[?yif(xI)]
關(guān)于Adaboost的詳細(xì)推導(dǎo)介紹，可以參考Wikipedia：AdaBoost或者李航《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》P145。
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2.5 其他損失
0-1 損失函數(shù)?
L(Y,f(X))={01ifY≠f(X)ifY=f(X)L(Y,f(X))={0ifY≠f(X)1ifY=f(X)
絕對值損失函數(shù)?
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L(Y,f(X))=|Y?f(X)|L(Y,f(X))=|Y?f(X)|
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上述幾種損失函數(shù)比較的可視化圖像如下：
3. Hinge loss 與 Softmax loss
SVM和Softmax分類器是最常用的兩個分類器。
在Softmax分類器中, 函數(shù)映射f(xi,W)f(xi,W)?保持不變,但將這些評分值看做每個分類未歸一化的對數(shù)概率,且將折葉損失替換為交叉熵?fù)p失(cross-entropy loss),公式如下:
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Li=?log(efyi∑jefj)Li=?log?(efyi∑jefj)
或等價的?
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Li=?fyi+log∑jfjLi=?fyi+log?∑jfj
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fjfj?表示分類評分向量ff?中的第ii?個元素,和SVM一樣,整個數(shù)據(jù)集的損失值是數(shù)據(jù)集中所有樣本數(shù)據(jù)的損失值Li的均值和正則化損失之和。
概率論解釋:?
P(yi|xi,W)=efyi∑jefjP(yi|xi,W)=efyi∑jefj
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解釋為給定數(shù)據(jù)xixi?，?WW?參數(shù),分配給正確分類標(biāo)簽yiyi?的歸一化概率。
實(shí)際操作注意事項(xiàng)——數(shù)值穩(wěn)定: 編程實(shí)現(xiàn)softmax函數(shù)計(jì)算的時候,中間項(xiàng)efyiefyi?和?∑jefj∑jefj?因?yàn)榇嬖谥笖?shù)函數(shù),所以數(shù)值可能非常大,除以大數(shù)值可能導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算的不穩(wěn)定,所以得學(xué)會歸一化技巧.若在公式的分子和分母同時乘以一個常數(shù)CC?，并把它變換到求和之中,就能得到一個等價公式:?
P(yi|xi,W)=CefyiC∑jefj=efyi+logC∑jefj+logCP(yi|xi,W)=CefyiC∑jefj=efyi+log?C∑jefj+log?C
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C的值可自由選擇,不會影響計(jì)算結(jié)果,通過這個技巧可以提高計(jì)算中的數(shù)值穩(wěn)定性.通常將C設(shè)為:?
logC=?maxfjlog?C=?maxfj
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該技巧就是將向量f中的數(shù)值進(jìn)行平移,使得最大值為0。
準(zhǔn)確地說，SVM分類器使用的是鉸鏈損失（hinge loss），有時候又被稱為最大邊界損失（max-margin loss）。Softmax分類器使用的是交叉熵?fù)p失（corss-entropy loss）。Softmax分類器的命名是從softmax函數(shù)那里得來的，softmax函數(shù)將原始分類評分變成正的歸一化數(shù)值，所有數(shù)值和為1，這樣處理后交叉熵?fù)p失才能應(yīng)用。
Example：圖像識別
針對給出的圖像，SVM分類器可能給你的是一個[?2.85,0.86,0.28][?2.85,0.86,0.28]?對應(yīng)分類“貓”，“狗”，“船”，而softmax分類器可以計(jì)算出這三個標(biāo)簽的”可能性“是[0.,0160.631,0.353][0.,0160.631,0.353]?，這就讓你能看出對于不同分類準(zhǔn)確性的把握。
這里Hinge Loss計(jì)算公式為：?
Li=∑j≠yimax(0,f(xi,W)j?f(xi,W))yi+ΔLi=∑j≠yimax(0,f(xi,W)j?f(xi,W))yi+Δ
這里?ΔΔ?是一個閾值，表示即使誤分類，但是沒有達(dá)到閾值，也不存在損失 。上面的公式把錯誤類別?(j≠yi)(j≠yi)?都遍歷一遍，求值加和。
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設(shè)?xixi?的正確類別是”船”，閾值?Δ=1Δ=1?，則對應(yīng)的Hinge loss 為：?
Li=max(0,?2.85?0.28+1)+max(0,0.86?0.28+1)=1.58Li=max(0,?2.85?0.28+1)+max(0,0.86?0.28+1)=1.58
下圖是對ΔΔ?的理解，藍(lán)色表示正確的類別，ΔΔ?表示一個安全范圍，就算是有其他的得分，只要沒有到達(dá)紅色的ΔΔ?范圍內(nèi),，對損失函數(shù)都沒有影響。這就保證了SVM 算法的解的稀疏性。
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而Softmax 損失則是對向量?fyifyi?指數(shù)正規(guī)化得到概率，再求對數(shù)即可。?
Li=?log(efyi∑jefj)=?log(0.353)≈1.04Li=?log?(efyi∑jefj)=?log?(0.353)≈1.04
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4.總結(jié)
機(jī)器學(xué)習(xí)作為一種優(yōu)化方法，學(xué)習(xí)目標(biāo)就是找到優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)——損失函數(shù)和正則項(xiàng)的組合；有了目標(biāo)函數(shù)的“正確的打開方式”，才能通過合適的機(jī)器學(xué)習(xí)算法求解優(yōu)化。
總結(jié)
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