有理數(shù)的小數(shù)表示如果是無限的，則是無限循環(huán)的.

證明:對于任意給定的正有理數(shù)$\frac{a}{b},a,b\in\mathbf{N}^{+}$.我們考察小學(xué)中的長除法的本質(zhì).比如，7除以12.因為$7<12$,所以我們先把7乘以10,變成70，然后70除以12.
\begin{equation}
70=5\times 12+10
\end{equation}
因為10小于12,所以我們把10乘以10，變成100，然后100除以12.
\begin{equation}
100=8\times 12+4
\end{equation}
因為4小于12，所以我們把4乘以10，變成40，然后40除以12.
\begin{equation}
40=3\times 12+4
\end{equation}
又是4.所以以后都循環(huán)了.

我們再考察一個特例.5除以70.因為$5<70$,所以把5乘以100，變成500,然后500除以70:
\begin{equation}
500=7\times 70+10
\end{equation}
$r_1=10$小于70，因此把10乘以10，變成100，然后把100除以70:
\begin{equation}
100=1\times 70 +30
\end{equation}
$r_2=30$小于70，因此把30乘以10，得到300，然后300除以70，可得
\begin{equation}
300=4\times 70+20
\end{equation}
$r_3=20$小于70，因此把20乘以10，得到200，然后200除以70，可得
\begin{equation}
200=2\times 70+60
\end{equation}
$r_4=60$小于70，因此把60乘以10，得到600，然后600除以70，可得
\begin{equation}
600=8\times 70+40
\end{equation}
$r_5=40$小于70，因此把40乘以10，得到400，然后400除以70，可得
\begin{equation}
400=5\times 70+50
\end{equation}
$r_6=50$小于70，因此把50乘以10，得到500，然后500除以70，可得
\begin{equation}
500=7\times 70+10
\end{equation}
$r_7=10=r_1$，因此接下來的所有步驟都是循環(huán)的.從這些特例里，我們可以窺見一般的端倪.我們看5除以70這個例子.我們發(fā)現(xiàn)無限數(shù)列$r_1,r_2,r_3,r_4,\cdots$中的每一項都是非負(fù)整數(shù)，且小于70.這是帶余除法所決定了的.因此該無限數(shù)列必為循環(huán)數(shù)列(為什么?).這個特例可以推廣至一般，這就解釋了有理數(shù)可以表現(xiàn)為無限循環(huán)小數(shù)這個現(xiàn)象.

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/11/21/3828106.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的有理数的小数表示若无限,则必为无限循环的的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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