考慮具有空序關系的空集$\leq_{\emptyset}$（這個關系$\leq_{\emptyset}$是空的，因為空集沒有元素）.這個集合是否偏序的？良序的？全序的？給予解釋.

證明：首先回顧什么是偏序集.偏序集指的是一個集合$X$連同一個關系$\preceq$.$\forall a,b\in X$,都有$a\preceq b$或者$a\preceq b$不成立.而且滿足（1）$a\preceq a$ (2)若$a\preceq b$且$b\preceq a$,則$a=b$ (3)若$a\preceq b$,$b\preceq c$,則$a\preceq c$.

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全序集是特殊的偏序集.全序集里的任何兩個元素$a,b$,$a\preceq b$和$b\preceq a$必有且僅有一個成立.而良序集是特殊的全序集，它的任何一個非空子集都有最小元.

?

現在考慮空集，由于不存在$a,b\in\emptyset$,所以我們假定存在$a,b\in\emptyset$的時候已經做了一個錯誤的假設前提.前提是錯誤的，那么能推出任何錯誤的結論.

所以$\emptyset$既是偏序集，又是全序集，又是良序集.

轉載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2013/01/17/3827530.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的陶哲轩实分析习题8.5.1的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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