【題目鏈接】

ybt 1034：計算三角形面積
OpenJudge NOI 1.3 17:計算三角形面積

【題目考點】

1. 已知三點求三角形面積公式

已知三點分別為$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$
先給出結論：這三個點圍成的三角形的面積為：
$S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_1?x_1{y}_3?x_2{y}_1?x_3{y}_2|$

推導過程：

• 記$a=(x_2?x_1,y_2?y_1),b=(x_3?x_1,y_3?y_1)$
• 已知向量點積公式$a?b=|a||b|cos\theta$，其中$\theta$是向量$a,b$的夾角。
  有$cos\theta =\frac{a?b}{|a||b|}$
• 已知$si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1$，且$\theta <\pi$
  有$sin\theta =\sqrt{1?con{s}^2\theta }=\frac{\sqrt{(|a||b|{)}^2?(a?b{)}^2}}{|a||b|}$
• 已知三角形面積公式:$S=\frac{1}{2}|a||b|sin\theta$
  有$$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{2}|a||b|\frac{\sqrt{(|a||b|{)}^2?(a?b{)}^2}}{|a||b|}\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{(|a||b|{)}^2?(a?b{)}^2}\end{array}$$
• $|a|=\sqrt{(x_2?x_1{)}^2+(y_2?y_1{)}^2}$
  $|b|=\sqrt{(x_3?x_1{)}^2+(y_3?y_1{)}^2}$
  $a?b=(x_2?x_1)(x_3?x_1)+(y_2?y_1)(y_3?y_1)$
• 根據以上公式：$S=\frac{1}{2}\sqrt{(|a||b|{)}^2?(a?b{)}^2}$
  已經可以做到輸入$x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3$，求S。
  繼續化歸，可以得到公式
  $S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_1?x_1{y}_3?x_2{y}_1?x_3{y}_2|$

2. 海倫公式：已知三條邊的長度求三角形面積

設$a=|a|,b=|b|,c=|c|$，
已知$a=(x_2?x_1,y_2?y_1),b=(x_3?x_1,y_3?y_1),c=(x_3?x_2,y_3?y_2)$
有：

• $a=|a|=\sqrt{(x_2?x_1{)}^2+(y_2?y_1{)}^2}$
  $b=|b|=\sqrt{(x_3?x_1{)}^2+(y_3?y_1{)}^2}$
  $c=|c|=\sqrt{(x_3?x_2{)}^2+(y_3?y_2{)}^2}$
• 半周長$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$
• 海倫公式，三角形面積$S=\sqrt{p(p?a)(p?b)(p?c)}$

3. 求一個數的絕對值

• 求整數的絕對值：int abs(int a);
• 求浮點型數的絕對值：double fabs(double a);

【題解代碼】

解法1：用公式$S=\frac{1}{2}\sqrt{(|a||b|{)}^2?(a?b{)}^2}$

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {double x1,y1,x2,y2,x3,y3,a_m,b_m,adotb,res;cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>x3>>y3;a_m = sqrt((x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1));//|a|b_m = sqrt((x3-x1)*(x3-x1) + (y3-y1)*(y3-y1));//|b|adotb = (x2-x1)*(x3-x1)+(y2-y1)*(y3-y1);//a點乘b res = 0.5 * sqrt(a_m*b_m*a_m*b_m-adotb*adotb);//結果 cout<<fixed<<setprecision(2)<<res<<endl;return 0; }

解法2：用公式$S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_1?x_1{y}_3?x_2{y}_1?x_3{y}_2|$

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {double x1,y1,x2,y2,x3,y3;cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>x3>>y3;cout<<fixed<<setprecision(2)<<fabs((x1*y2+x2*y3+x3*y1-x1*y3-x2*y1-x3*y2))/2;return 0; }

解法3：用海倫公式$S=\sqrt{p(p?a)(p?b)(p?c)}$

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {double x1,y1,x2,y2,x3,y3,a,b,c,p;cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>x3>>y3;a = sqrt((x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1));//|a|b = sqrt((x3-x1)*(x3-x1) + (y3-y1)*(y3-y1));//|b|c = sqrt((x3-x2)*(x3-x2) + (y3-y2)*(y3-y2));//|c|p = (a + b + c)/2;//p半周長 cout<<fixed<<setprecision(2)<<sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))<<endl;return 0; }

總結

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