【題目鏈接】

ybt 1082：求小數的某一位
OpenJudge NOI 小學奧數 7830:求小數的某一位

【題目考點】

1. 數制：求某小數位

設$r$為a/b的余數，q是整數商，那么根據
$a÷b=q??r$
有$\frac{a}{b}=q+\frac{r}{b}$
其中q是結果的整數部分，$\frac{r}{b}$是結果的小數部分。
假設$\frac{r}{b}$值為$0.d_1{d}_2{d}_3{d}_4...$其中$d_i$是每一位的數字。
根據按位權展開公式，有：
$\frac{r}{b}=d_1?10^{?1}+d_2?10^{?2}+d_3?10^{?3}...$
兩邊乘以10，有：
$\frac{10r}{b}=d_1+d_2?10^{?1}+d_3?10^{?2}...$
$\frac{10r}{b}的余數是(10r)\%b$
這個數的整數部分是$\frac{10r?(10r)\%b}{b}=d_1$，
小數部分:$\frac{(10r)\%b}{b}=d_2?10^{?1}+d_3?10^{?2}...$
得到的$d_1$，即為十分位數字。
同樣地，將$\frac{(10r)\%b}{b}$再乘以十，并分離整數部分，得到的就是百分位數字。
由此，總結出求小數各位數字的方法是：乘十取整。
求第n位小數，就是乘十取整10次后，最后一次取整得到的整數。

2. （擴展）數制：求某位的數字

求任意進制數字整數部分某位的方法是：除基取余
求任意進制數字小數部分某位的方法是：乘基取整
其中“基”是指該數制的基數，如十進制的基數是10，十六進制的基數是16。

2. 模擬：除法豎式

除法豎式本質上就是上述運算。但一般學生對除法豎式更為了解，所以以模擬除法豎式的角度來解題也可以。

• 設被除數為r，使r = a%b，作為最初的被除數，除數還是b。

• 被除數r比除數b小，r乘以10，然后求r/b，得到的商寫在商的位置，即為十分位的值，得到的余數作為新的被除數。

• 此時被除數r比除數b小，r乘以10，然后求r/b，得到的商即為百分位的值，得到的余數作為新的被除數。
• 不斷循環，第n次循環求出的商即為小數點后第n位。

【解題思路】

1. 以數制中“乘10取整”的思路來做

2. 以模擬除法豎式的角度來做

兩種思路寫出來的代碼實際是一樣的。

【題解代碼】

解法1：數制：乘基取整

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {int a, b, n, d;//d為某一位的數字cin >> a >> b >> n;int r = a % b;//r為分子for(int i = 1; i <= n; ++i){r *= 10;d = (r - r % b) / b;//求r除以b的商，為第i位小數r %= b;//r的新值為(10r)%b}cout << d;//第n次求出的d就是第n位數return 0; }

解法2：模擬除法豎式

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {int a, b, n, d;//d為某一位的數字cin >> a >> b >> n;int r = a % b;//初始的被除數for(int i = 1; i <= n; ++i){r *= 10;//被除數乘以10d = r / b;//求出此次相除得到的商，即為第i位的數字r %= b;//余數作為新的被除數}cout << d;return 0; }

總結

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