題目描述

FGD正在破解一段密碼，他需要回答很多類似的問題：對于給定的整數a,b和d，有多少正整數對x,y，滿足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作為FGD的同學，FGD希望得到你的幫助。

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第一行一個整數T 表述數據組數

接下來T行，每行三個正整數，表示 a,b.d

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T行，每行一個整數表示第 i 組數據的結果

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輸入樣例#1：

2
4 5 2
6 4 3

輸出樣例#1：

3
2

思路：本題思路與? YY的GCD（洛谷-P2257）?極其相似

實質是要求?

設 f(d) 為滿足?GCD(i,j)=d?的個數，即：

g(n) 為滿足 GCD(i,j)=d?的倍數的個數，即：

可以看出，g(n) 與 f(d) 間滿足莫比烏斯反演的形式：

那么，對??進行化簡

將 f(k) 代入，有：

根據莫比烏斯反演：

設枚舉項??為 t

那么有：

進一步優化時間復雜，將??中的 d 提出來，有：

此時的復雜度為 O(n)，由于是多組查詢，發現式子中有整除，利用整除分塊求 mu 的前綴和，進行優化即可

源代碼

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<string> #include<cstring> #include<cmath> #include<ctime> #include<algorithm> #include<utility> #include<stack> #include<queue> #include<vector> #include<set> #include<map> #include<bitset> #define EPS 1e-9 #define PI acos(-1.0) #define INF 0x3f3f3f3f #define LL long long #define Pair pair<int,int> const int MOD = 1E9+7; const int N = 100000+5; const int dx[] = {1,-1,0,0,-1,-1,1,1}; const int dy[] = {0,0,-1,1,-1,1,-1,1}; using namespace std; int mu[N]; int prime[N]; bool bprime[N]; int cnt; LL sum[N]; void getMu(int n){//線性篩求莫比烏斯函數cnt=0;mu[1]=1;//根據定義，μ(1)=1memset(bprime,false,sizeof(bprime));for(int i=2;i<=n;i++){//求2~n的莫比烏斯函數if(!bprime[i]){prime[++cnt]=i;//存儲質數mu[i]=-1;//i為質數時，μ(1)=-1}for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){//枚舉i之前的素數個數bprime[i*prime[j]]=true;//不是質數if(i%prime[j])//i不是prime[j]的整數倍時，i*prime[j]就不會包含相同質因子mu[i*prime[j]]=-mu[i];//mu[k]=mu[i]*mu[prime[j]]，因為prime[j]是質數，mu值為-1else{mu[i*prime[j]]=0;break;//留到后面再篩}}}for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+mu[i]; } LL g[N]; int main(){getMu(100000);int t;scanf("%d",&t);int Case=1;while(t--){int a,b,d;scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);a/=d;b/=d;int minn=min(a,b);LL res=0;for(int left=1,right;left<=minn;left=right+1){right=min(a/(a/left),b/(b/left));res+=(1LL)*(a/left)*(b/left)*(sum[right]-sum[left-1]);}printf("%lld\n",res);}return 0; }

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的ZAP-Queries（洛谷-P3455）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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