【矩陣】

1.定義

個數??排成的 n 行 m 列的數稱為 n 行 m 列矩陣記作：

其中， 個數稱為矩陣 A 的元素，數??位于矩陣的第 i 行第 j 列，稱為矩陣 A 的 (i,j) 元

2.常見矩陣

• 實矩陣：元素是實數的矩陣
• 復矩陣：元素是復數的矩陣
• n 階方陣：行數列數相等且為 n 的矩陣，其中 i=j 的元素??組成的斜線稱為主對角線
• 對角矩陣：除主對角線外的元素皆為 0
• 上三角矩陣：主對角線左下方元素全為 0
• 下三角矩陣：主對角線右上方元素全為 0
• 對稱矩陣：轉置矩陣與自身相等的方陣，即?
• 反對稱矩陣：轉置矩陣與自身取負后相等的方陣，即
• 單位矩陣：主對角線元素全為 1，其余元素全為 0，記為 E
• 正交矩陣：滿足??的矩陣 A，其?
• 逆矩陣：在 n 階方陣中，可逆矩陣（所有行向量線性無關）?A 存在唯一逆元?，使得?

3.N 階方陣性質

基本變化規律：

• 垂直對稱：
• 水平對稱：
• 主對角線對稱：
• 輔對角線對稱：

對稱旋轉規律：

• 中心對稱：水平變換與垂直變換合并，即?
• 順時針旋轉 90 度：水平對稱與對角線對稱合并，即?
• 逆時針旋轉 90 度：垂直對稱與對角線對稱合并，即?

【矩陣的基本運算】

1.加減法

對于兩個同型矩陣（兩個矩陣的行列數相同），加減法就是將對應的 (i,j) 元做加減運算，其滿足交換律和結合律：

• A+B=B+A
• (A+B)+C=A+(B+C)

struct Matrix{int s[N][N]; }; Matrix add(Matrix A,Matrix B,int n){ //矩陣加法，n代表A、B兩個矩陣是n階方陣Matrix temp;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)temp.s[i][j]=A.s[i][j]+B.s[i][j];return temp; } Matrix sub(Matrix A,Matrix B,int n){ //矩陣減法，n代表A、B兩個矩陣是n階方陣Matrix temp;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)temp.s[i][j]=A.s[i][j]-B.s[i][j];return temp; }

2.數乘

一個數乘以一個矩陣，只要將這個數乘到矩陣的每一個 (i,j) 元上，其滿足結合律與分配律：

• (λμ)A=λ(μA)
• (λ+μ)A=λA+μA
• λ(A+B)=λA+λB

3.轉置

將 A 的行換為同序數的列所得到的新矩陣，其滿足以下運算律：

例如：

4.共軛

對于復矩陣，共軛矩陣定義為：?

例如：

5.共軛轉置

對于復矩陣，共軛轉置矩陣定義為：，即：

例如：

【矩陣的乘法】

只有當第一個矩陣 A 的列數與第二個 B 矩陣的行數相等時才能定義。

A 是 m×n??矩陣，B 是 n×p 矩陣，他們的乘積 C=AB 是一個 m×p 矩陣，其第 i 行第 j 列的元素值為 A 的第 i 行與 B 的第 j 列的乘積

即：

矩陣的乘法滿足結合律、分配律：

• (AB)C=A(BC)
• (A+B)C=AC+BC
• C(A+B)=CA+CB

struct Matrix{int s[N][N]; }; Matrix mul(Matrix A,Matrix B,int n){//矩陣乘法，n代表A、B兩個矩陣是n階方陣Matrix temp;//臨時矩陣，存放A*B結果for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){temp.s[i][j]=0;for(int k=1;k<=n;k++)temp.s[i][j]=temp.s[i][j]+A.s[i][k]*B.s[k][j];}}return temp; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数 —— 矩阵与矩阵运算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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