【概述】

對(duì)于兩個(gè)數(shù)列?、，他們之間滿足??，此時(shí)，若已知數(shù)組 a 和數(shù)列?，則可以推出?

那么反演過(guò)程就是找到一個(gè)數(shù)組 b，通過(guò)使用??的值，來(lái)反推出?，即：

如果只考慮上面兩個(gè)公式，整個(gè)方程組實(shí)際上是一個(gè)下三角矩陣的形式，因此從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，反演是一個(gè)解線性方程組的過(guò)程。

引入克羅內(nèi)克函數(shù)：

由??可得?

考慮反演的過(guò)程：，將??代入，有：

對(duì)于最后一步，實(shí)質(zhì)上是交換了求和順序，將第二步按照矩陣形式寫出，有：

可以看出，第二步是先對(duì)行進(jìn)行，再將各行相加，那么第三步就是對(duì)列進(jìn)行，然后再將各列相加，考慮每一個(gè)??的系數(shù)，顯然只有??的系數(shù)為 1

那么反演式??成立的充要條件是：

同理，將 f 代入 g 的求和式中，可以推出：

也就是說(shuō)，如果某個(gè)數(shù)列滿足上面兩個(gè)條件，就可以直接建立起反演公式。

可以發(fā)現(xiàn)，快速傅里葉變換與逆變換、第一類斯特林?jǐn)?shù)、第二類斯特林?jǐn)?shù)、二項(xiàng)式定理等滿足這個(gè)條件，可以視為是一個(gè)反演的過(guò)程。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的组合计数与反演 —— 反演的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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