【基本概念】

子序列： 一個序列 A＝a1,a2,……an 中任意刪除若干項，剩余的序列叫做 A 的一個子序列。也可以認為是從序列 A 按原順序保留任意若干項得到的序列。（例如：對序列｛1,3,5,4,2,6,8,7｝來說，序列｛3,4,8,7｝是它的一個子序列。）

公共子序列 ：如果序列 C 既是序列 A 的子序列，也是序列 B 的子序列，則稱它為序列 A 和序列 B 的公共子序列。（例如：對序列｛1,3,5,4,2,6,8,7｝和序列｛1,4,8,6,7,5｝來說，序列｛1,8,7｝是它們的一個公共子序列）

最長公共子序列：A 和 B 的公共子序列中長度最長的（包含元素最多的）序列叫做 A 和 B?的公共子序列。（ 最長公共子序列不唯一）

對于一個長度為 n 的序列，它一共有 2^n 個子序列，有 (2^n – 1) 個非空子序列。

子序列不是子集，它和原始序列的元素順序是相關的。

空序列是任何兩個序列的公共子序列。

角標為 0 時，認為子序列是空序列。

【LIS問題】

LIS 問題（Longest Increasing Subsequence），最長上升子序列，其一般為求最長下降子序列或是最長上升子序列。

用 DP[i] 表示 A[i] 為結尾的最長上升子序列的長度，則有狀態轉移方程：

模板：

for(int i=2;i<=n+1;i++) {int num=0;for(int j=i-1;j>=1;j--)if(a[i]>a[j])num=max(num,dp[j]);dp[i]=num+1; }

【LCS 問題】

LCS 問題（Longest Common Subsequence），求序列的最長公共子序列。

F[i][j]?表示前綴子串 A[1~i] 與 B[1~j] 的最長公共子序列的長度，則有狀態轉移方程：?

即：

模板：

char s[MAX],t[MAX]; scanf("%s%s",s,t); int x=strlen(s),y=strlen(t); for(i=0;i<x;i++) { for(j=0;j<y;j++) {if(s[i]==t[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; else dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]); } printf("%d\n",dp[i][j]); }

【LCIS 問題】

LCIS 問題（Longest Common Increasing Subsequence），求序列的最長公共上升子序列。

用 F[i][j] 表示 A[1~j] 與 B[1~j] 可以構成的以 B[j] 為結尾的 LCIS 的長度，易得狀態轉移方程：

因此對于決策集合中的元素只增多不減少的情景，就可以維護一個變量來記錄決策集合的當前消息，只需要兩重循環即可求解。

模板：

for (int i=1;i<=n;++i) {int val=0;//val是決策集合S(i,j)中f[i-1][k]的最大值 for(int j=1;j<=m;++j){//原來的k循環+判斷+狀態轉移 if (a[i]==b[j]) f[i][j]=val+1;else f[i][j]=f[i-1][j];if (b[j]<a[i]) val=max(val,f[i-1][j]);//j即將增大為j+1,檢查j能否進入新的決策集合 } }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划 —— 线性 DP —— 序列问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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