$[a,b]$ 上的連續(xù)函數(shù)列 $\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n,\cdots$ 滿足 $\dps{\int_a^b \varphi_n^2(x)\rd x=1}$. 證明: 存在自然數(shù) $N$ 及定數(shù) $c_1,c_2,\cdots,c_N$ 使 $\dps{\sum_{k=1}^N c_k^2=1}$, $\dps{\max_{x\in [a,b]} \sev{\sum_{k=1}^n c_k\varphi_k(x)}>100}$. (揚州師范學(xué)院)

?

證明: 由積分中值定理, 對待定的 $N$, $$\bex N=\int_a^b \sum_{k=1}^N \varphi_k^2(x)\rd x =(b-a)\sum_{k=1}^N \varphi_k^2(\xi). \eex$$ 取 $$\bex c_k=\frac{\varphi_k(\xi)}{\sqrt{\frac{N}{b-a}}}, \eex$$ 則 $\dps{\sum_{k=1}^N c_k^2=1}$, $$\bex \max_{x\in [a,b]}\sev{\sum_{k=1}^N c_k\varphi_k(x)} \geq \sev{\sum_{k=1}^N c_k\varphi_k(\xi)} =\frac{N}{\sqrt{\frac{N}{b-a}}}=\sqrt{N(b-a)}>100, \eex$$ 只要選 $\dps{N>\frac{100^2}{b-a}}$.

總結(jié)

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