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在開始今天的正式內容之前，先補充一個創建矩陣的方法——由向量組合成矩陣。A=[1;2;3]，B=A+3，C=B+3，A, B, C 均為列向量，矩陣D由向量A， B，C 構成，D=[A B C]，則D是一個3x3的矩陣。示例如下：

矩陣的秩

矩陣的秩是矩陣中線性無關的行向量的數目。在matlab中求矩陣的秩用rank()命令，如：求前述矩陣D的秩，通過觀察的方法，矩陣的第三行減去第二行后都為1，第二行減去第一行后都為1。此時，矩陣的第二行和第三行都為1，兩行線性相關可以消除其中一行，觀察可知矩陣的的秩為2，下面用matlab 驗證一下。示例如下：

下面我們來隨機生成一個矩陣E并求rank(E)。示例如下：

矩陣E的秩為5，說明矩陣E的各行均線性無關。

下面我們對矩陣E做一個簡單的改造，將矩陣E的第五行換成第一行和第二行的和，此時矩陣E的第五行就可以用第一行和第二行線性表示了，即第五行可以通過行變換化為全零，此時rank(E)應該等于4。在matlab中驗證一下：

簡化梯形矩陣

在筆算求矩陣的秩時，通常都會對矩陣做梯形簡化，方便觀察矩陣的秩，在解線性方程組時也會做這樣的簡化。matlab中使用rref()命令來獲得簡化梯形矩陣。示例如下：

通過簡化后的梯形矩陣，很容易就能觀察到矩陣D的秩為2。

再來看看矩陣E，示例如下：

通過簡化后的梯形矩陣，很容易就能觀察到矩陣E的秩為4。此處默認將非零行的第一個非零元素化為1，所以后面出現了實數。

線性方程組

有了前面內容的鋪墊，現在可以很方便的求解線性方程組的解了，并觀察解的性質。給定如下方程組：

將方程組的系數矩陣記作M，?等式右邊的向量記作b。則：

看看系數矩陣M的秩：

rank(M)=2，滿秩，說明方程組有唯一解。通過消元法，可以很容易解得x1=2，x2=5，這個在中學就學習過。

這里從線性代數的角度來求解這個方程組，一是Cramer 法則求解，二是高斯消元法，分述如下：

1. Cramer 法則：

首先計算系數矩陣的行列式detM；再用向量b替換M的第一列，并計算其行列式detM1，則 x1=detM1/detM;?同理，用b替換M的第二列，計算detM2，則 x2=detM2/detM。下面，在matlab中完成上述計算過程并驗證結果。

如上圖所示，x1=2，x2=5，結果與筆算一樣。這里舉例用了二元方程組，對于變量個數多余2的時候，matlab的簡便性就更突出了。

2.?高斯消元法

高斯消元法是將系數矩陣M和列向量b組合在一起，做行變換得到簡化梯形矩陣，再求解。仍然用上面的方程組做實驗：

令：Mb=[M b]

經過梯形簡化后，方程組變為如下形式：

一眼就能觀察出來，x1=2，x2=5。比高斯消元法還要簡單。

再補充一個三元線性方程組：

系數矩陣仍記作M，等式右邊的向量記作b。

先計算rank(M):

rank(M)=3，滿秩，方程組有唯一解。

先用Cramer 法則求解：

計算各個行列式的值：

計算x1，x2，x3的值：

再看看高斯消元法求解：

經過梯形簡化后，方程組變為如下形式：

可以很方便的得到 x1=8，x2=15，x3=6。

解線性方程組是科學計算中的一個很重要很基本的部分，除了上面介紹的方法，關于線性方程組的解法還有很多種，后面會陸續介紹。對于那些不是線性的方程組，在經過簡化后，也可以化作線性方程組來求解。所以，線性方程組的解法是科學計算的一個基石。

這么簡單實用的工具，不來用一下嗎！

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的c++求矩阵的秩_Matlab：矩阵的秩，简化梯形矩阵和线性方程组的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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