基于matlab及龍格庫塔法求解布拉修斯方程

Runge—Kutta法求解布拉修斯解

摘要

薄剪切層方程主要有三種解法，即相似解，非相似條件下對偏微分方程組的數值解和近似解。布拉修斯解是布拉修斯于1908年求出的，它是零攻角沿平板流動的相似解。本文用四階Runge—Kutta法求解高階微分方程的方法，并用matlab編程實現，求得了與實際層流邊界層相符合的數值解。

關鍵詞：布拉修斯解，相似解，Runge—Kutta法，數值解。

1 布拉修斯近似解方程

二維定常不可壓縮層流邊界層的方程為：

(1)

(2)

邊界條件為

將式(1)和式(2)進行法沃克納—斯坎變換(簡稱F—S變換)，將邊界層方程無量綱化，即設

(3)

(4)

得出F—S變換后的動量方程

(5)

其中k為流動類型指標，橫曲率項t為

(6)

m是量綱一的壓力梯度參數，定義為

(7)

其邊界條件變為

對于二維平面實壁流動()可以忽略橫曲率項t的軸對稱流動，式(5)成為

(8)

根據相似解的定義，方程(8)中的函數f若式相似的，則它應只與η有關而與x無關，即對x的偏導數應為零。于是方程(8)應成為

(9)

若fw為常數，則方程(9)的邊界條件為

；

2 布拉修斯解

布拉修斯于1908年求出了零攻角沿平板流動的解。這時

因而方程(9)成為

(10)

此即布拉修斯方程。對于實壁，，邊界條件成為

；

3 Runge—Kutta法求解

Runge—Kutta通過將高階微分方程化為一階線性方程組，從而解出高階方程的數值解。在方程(10)中令

(11)

于是方程(10)變為

(12)

當區步長為h，有四階Runge—Kutta的形式如下

(13)

使用matlab軟件取步長為0.2，迭代100步視作η→無窮大。迭代到第40步左右就收斂了，迭代結果如下(本文附錄有全程序源代碼)

表格 1平板層流邊界層方程的數值解

f0000.332060.20.0066410.0664080.331990.40.026560.132770.331470.60.0597360.198940.330080.80.106110.264710.3273910.165570.329780.323011.20.237950.393780.316591.40.322990.456270.307871.60.420330.516760.296671.80.529520.574760.2829320.650030.629770.266752.20.78120.681320.248352.40.92230.728990.228092.61.07250.772460.206462.81.2310.811510.1840131.39680.846050.161363.21.56910.876090.139133.41.7470.901770.117883.61.92950.923330.0980873.82.1160.941120.08012642

總結

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