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? ? ? ?好久沒寫博客了，這個系列就來聊聊數學，我們知道數學是一種工具，更是一種思想，在我們的日常生活和工作中都有廣泛的應用。

? ? ? ?比如算法中有一種叫做“遞推思想”，轉化到數學上來說就是“數列”，而我們苦逼的coding，復雜度搞死也只能控制在O(N)，但有沒有

想過對這種問題可以一針見血，一刀斃命,這就需要用到“數學”上的知識。猴子吃桃?問題就是一個活生生的例子，評論上給出了很好的解決方

案，學習數學就應該能讓它解決點實際上的問題，下面來推導一下。

? ? ?為了方便，將遞推公式寫成：

? a_n=2a_n-1+2 ?①

已知首項：a₁=1

將①變形得

?a_n+2=2(a_n-1+2) ? ? ? ?②

由②可推導

?a_n-1+2=2(a_n-2+2) ? ?③

?a_n-2+2=2(a_n-3+2) ? ?④

? ?...

?a₃+2=2(a₂+2) ? ? ? ? ?...

?a₂+2=2(a₁+2) ? ? ? ? ?...

然后我們將這N-1項相乘，化簡得

a_n+2=2^n-1(a₁+2) ?⑤

又因為 a1=1 則通項公式為

a_n=2^n-1*3-2 ? ? ? ?⑥

根據”遞推公式“我們求出了”通項公式“，現在我們可以秒殺任何一天的桃子數量，現在又來問題了，如何求出前N天的桃子總和，在

數列中對應的就是求前n項和的問題，在得知a_n的情況下，求S_n也是秒殺效果。

⑥式是典型的{na_n+b_n}模型，針對這個模型，我們拆分成{na_n}+{b_n}，然后分別計算它們的前n項和，最后合并。

<1> ? 3*2^n-1?的前n項和為： ? S_n=3*2⁰+3*2¹+3*2²+3*2³+...+ 3*2^{n-1 ? ? ? ??}⑦

變形⑦可知 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2S_n=3*2¹+3*2²+3*2³+...+3*2ⁿ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑧

⑦-⑧得（錯位相減）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-S_n=3*2⁰-3*2ⁿ

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=> ? ?S_n=3*2ⁿ-3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

<2> ?2的前n項和為： => ? ?Tn=2n

綜合兩部分結果可知：S_m=3*2^m-3-2m。

最后我們推導出了?猴子吃桃?問題的前n項和，當你苦逼coding的時候，人家早已推導出了，而且復雜度宇宙第一...

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上面的場景只是想讓大家知道數列對我們來說非常重要，后面我會拿算法上的題目用數學來KO，讓你知道不懂數學簡直就弱爆了，

作為數列專題篇，基礎知識必不可少，同樣我也可以鞏固和復習,嘿嘿。

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在數列中：通項公式，遞推公式，前n項和始終貫穿于數列學習的始終，首篇要了解下面幾點：

①： ?能夠目測簡單數列的通項公式。

? ? ? ? 比如：1,4,9,16,.....?

? ? ? ? ? ? ? ?1,0,1,0....

②： ?能夠根據遞推公式求數列的通項公式，比如（猴子吃桃問題）

③： ?能夠根據數列的前n項和求數列的通項公式。

? ? ? ? ?an= ? ?s1 ? ? ? ? (n=1)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?s_n-s_n-1 (n>=2)

④： 能夠求數列的前n項的和S_n

? ? ? ?常用方法：倒序相加，錯位相減， 分項相消法（有技巧），倍數法。

⑤： 能夠理解{a_n+b_n},{a_nb_n}模型的前N項求和問題。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的天籁数学——数列篇（1）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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