统计学知识梳理
本文為PMCAFF專欄作者大山里人出品
前言
道德經(jīng)云：”道生一，一生二，二生三，三生萬物“。學(xué)習(xí)知識亦是如此，一個(gè)概念衍生出兩個(gè)概念，兩個(gè)概念演化出更小的子概念，接著衍生出整個(gè)知識體系。
筆者結(jié)合自己對統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率論知識的理解寫了這篇文章，有以下幾個(gè)目標(biāo)
目標(biāo)一：構(gòu)建出可以讓人理解的知識架構(gòu)，讓讀者對這個(gè)知識體系一覽無余
目標(biāo)二：盡l量闡述每個(gè)知識在數(shù)據(jù)分析工作中的使用場景及邊界條件
目標(biāo)三：為讀者搭建從“理論”到“實(shí)踐"的橋梁
注意：本文不涉及對概念及方法公式的推導(dǎo)，讀者有興趣可以自行查閱《概率與統(tǒng)計(jì)》
概述
你的“對象” 是誰？
此對象非彼“對象”，我們學(xué)習(xí)“概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)”目的在于應(yīng)用到對于“對象”的研究中，筆者將我們要研究的“對象”按照維度分為了兩大類。
一維：就是當(dāng)前擺在我們面前的“一組”，“一批”，哪怕是“一坨”數(shù)據(jù)。這里我們會用到統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識去研究這類對象。
二維：就是研究某個(gè)“事件”，筆者認(rèn)為事件是依托于“時(shí)間軸”存在的，過去是否發(fā)生，現(xiàn)在是可能會出現(xiàn)幾種情況，每種情況未來發(fā)生的可能性有多大？這類問題是屬于概率論的范疇。
因此，我們在做數(shù)據(jù)分析的研究前，先弄清我們研究的對象屬于哪類范疇，然后在按著這個(gè)分支檢索自己該用到的知識或方法來解決問題。
分析就像在給 “愛人” 畫肖像
從外觀的角度描述一個(gè)姑娘，一般是面容怎么樣？身段怎么樣？兩個(gè)維度去描述。就像畫一幅肖像畫，我們的研究“對象”在描述性分析中也是通過兩個(gè)維度去來描述即，“集中趨勢---代表值”，“分散和程度”。
看到這幾個(gè)概念是不是就很熟悉了？筆者認(rèn)為一個(gè)描述性的分析就是從這兩個(gè)維度來說清楚你要研究的對象是什么樣子？至于從哪些特征開始說呢？就是常用的概念“均值”，“方差”之類的。下面我們進(jìn)入正題，筆者將詳細(xì)闡述整個(gè)知識架構(gòu)。
第一部分
對“數(shù)據(jù)”的描述性分析
數(shù)據(jù)分析中最常規(guī)的情況，比如你手上有一組，一批或者一坨數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)分析的過程就是通過“描述”從這些數(shù)據(jù)中獲取的信息，通常可以從兩個(gè)維度去描述：
1
集中趨勢量度：為這批數(shù)據(jù)找到它們的“代表”
均值（μ）
均值的局限性
均值是最常用的平均數(shù)之一，但是它的局限性在于“若用均值描述的數(shù)據(jù)中存在異常值的情況，會產(chǎn)生偏差” ；例如下面一組數(shù)據(jù)就不太適合用均值來代表
這5個(gè)人的年齡均值是：31.2歲
很顯然，在這組數(shù)據(jù)中，大部分人的年齡是10幾歲的青少年，但是E的年齡是100歲為異常值，用均值來描述他們的年齡是31.2歲，很顯然用均值作為描述這組數(shù)據(jù)是不合適的，那么我們該如何準(zhǔn)確的表征這組數(shù)據(jù)呢？？？
中位數(shù)
中位數(shù)，又稱中點(diǎn)數(shù)，中值。是按順序排列的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)。
中位數(shù)的局限
回到上一個(gè)例子，若用中位數(shù)來表征這組數(shù)據(jù)的平均年齡，就變得更加合理，中位數(shù)15。
那么我們在看一下下面一組數(shù)據(jù)，中位數(shù)的表現(xiàn)又如何？
中位數(shù)：45
這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：45，但是中位數(shù)45并不能代表這組數(shù)據(jù)。
因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)分為兩批，兩批的差異很大。那么如何處理這類數(shù)據(jù)呢？接下來介紹第三位平均數(shù)。
眾數(shù)
眾數(shù)是樣本觀測值在頻數(shù)分布表中頻數(shù)最多的那一組的組中值。
平均數(shù)可以表征一批數(shù)據(jù)的典型值，但是僅憑平均數(shù)還不能給我們提供足夠的信息，平均數(shù)無法表征一組數(shù)據(jù)的分散程度。
2
分散性與變異性的量度
（全距，迷你距，四分位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)分）
全距=max-min
全距也叫“極差”極差。它是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差。可以用于度量數(shù)據(jù)的分散程度。
全距的局限性
全距雖然求解方便快捷，但是它的局限性在于“若數(shù)據(jù)中存在異常值的情況，會產(chǎn)生偏差。為了擺脫異常值帶來的干擾，比如我們看一下下面的兩組數(shù)據(jù)。只是增加了一個(gè)異常值，兩組數(shù)據(jù)的全距產(chǎn)生了巨大的差異。
四分位數(shù)
所有觀測值從小到大排序后四等分，處于三個(gè)分割點(diǎn)位置的數(shù)值就是四分位數(shù)：Q1，Q2和Q3。
Q1：第一四分位數(shù) (Q1)，又稱“較小四分位數(shù)”，等于該樣本中所有數(shù)值由小到大排列后第25%的數(shù)字。
Q2：第二四分位數(shù) (Q2)，又稱“中位數(shù)”，等于該樣本中所有數(shù)值由小到大排列后第50%的數(shù)字。
Q3：第三四分位數(shù) (Q3)，又稱“較大四分位數(shù)”，等于該樣本中所有數(shù)值由小到大排列后第75%的數(shù)字。
迷你距 也叫“四分位距”
迷你距。它是一組數(shù)據(jù)中較小四分位數(shù)與較大四分位數(shù)之差。
即：迷你距= 上四分位數(shù) - 下四分位數(shù)
迷你距可以反映中間50%的數(shù)據(jù)，如果出現(xiàn)了極大或極小的異常值，將會被排除在中心數(shù)據(jù)50%以外。因此使用迷你距可以剔除數(shù)據(jù)中異常值。
全距，四分位距，箱形圖可以表征一組數(shù)據(jù)極大和極小值之間的差值跨度，一定程度上反應(yīng)了數(shù)據(jù)的分散程度，但是卻無法精準(zhǔn)的告訴我們，這些數(shù)值具體出現(xiàn)的頻率，那么我們該如何表征呢？
我們度量每批數(shù)據(jù)中數(shù)值的“變異”程度時(shí)，可以通過觀察每個(gè)數(shù)據(jù)與均值的距離來確定，各個(gè)數(shù)值與均值距離越小，變異性越小數(shù)據(jù)越集中，距離越大數(shù)據(jù)約分散，變異性越大。方差和標(biāo)準(zhǔn)差就是這么一對兒用于表征數(shù)據(jù)變異程度的概念。
方差
方差是度量數(shù)據(jù)分散性的一種方法，是數(shù)值與均值的距離的平方數(shù)的平均值。
標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差為方差的開方。
通過方差和標(biāo)準(zhǔn)差我們現(xiàn)在可以表征一組數(shù)據(jù)的數(shù)值的變異程度。那么對于擁有不同均值和不同標(biāo)準(zhǔn)差的多個(gè)數(shù)據(jù)集我們?nèi)绾伪容^呢？
標(biāo)準(zhǔn)分——表征了距離均值的標(biāo)準(zhǔn)差的個(gè)數(shù)
標(biāo)準(zhǔn)分為我們提供了解決方法，當(dāng)比較均值和標(biāo)準(zhǔn)差各不相同的數(shù)據(jù)集時(shí)，我們可以把這些數(shù)值視為來自同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)據(jù)集，然后進(jìn)行比較。標(biāo)準(zhǔn)分將把每一個(gè)數(shù)據(jù)集轉(zhuǎn)化為通用的分布形態(tài)，進(jìn)行比較。
標(biāo)準(zhǔn)分還有個(gè)重要的作用，它可以把正態(tài)分布變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，后文會有介紹。
第一部分小節(jié)
描述一批數(shù)據(jù)，通過集中趨勢分析，找出其“代表值” ；通過分散和變異性的描述，查看這批數(shù)據(jù)的分散程度。
集中趨勢參數(shù)：均值，中位數(shù)，眾數(shù)
分散性和變異性參數(shù)?:??全距，四分位距，方差，標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)分
第二部分
關(guān)于“事件”的研究分析
概率論
1
一個(gè)事件的情況
為了讓讀者更好理解，筆者概率論中最核心的概念以及概念之間彼此的關(guān)系繪制成了下圖，那么接下來筆者開始“講故事”了。
事件：有概率可言的一件事情，一個(gè)事情可能會發(fā)生很多結(jié)果，結(jié)果和結(jié)果之間要完全窮盡，相互獨(dú)立。
概率：每一種結(jié)果發(fā)生的可能性。所有結(jié)果的可能性相加等于1，也就是必然！！！
概率分布：我們把事件和事件所對應(yīng)的概率組織起來，就是這個(gè)事件的概率分布。
概率分布可以是圖象，也可以是表格。如下圖1和表2都可以算是概率分布
期望：表征了綜合考慮事情的各種結(jié)果和結(jié)果對應(yīng)的概率后這個(gè)事情的綜合影響值。（一個(gè)事件的期望，就是代表這個(gè)事件的“代表值”，類似于統(tǒng)計(jì)里面的均值）
方差：表征了事件不同結(jié)果之間的差異或分散程度。
2
細(xì)說分布
理想很豐滿，現(xiàn)實(shí)很骨感。真實(shí)的生活中別說去算一個(gè)事件的期望，即使把這個(gè)事件的概率分布能夠表述完整，每個(gè)事件對應(yīng)的概率值得出來就已經(jīng)是一件了不起的事情了。
因此，為了能更快更準(zhǔn)確的求解出事件的概率分布，當(dāng)某些事件，滿足某些特定的條件，那么我們可以直接根據(jù)這些條件，來套用一些固定的公式，來求解這些事件的分布，期望以及方差。
“離散型”數(shù)據(jù)和“連續(xù)性”數(shù)據(jù)差異
在我們展開分布的知識之前，先補(bǔ)充一個(gè)預(yù)備知識，什么是離散數(shù)據(jù)，什么是連續(xù)數(shù)據(jù)，它們二者之間有什么差異？
離散數(shù)據(jù)： 一個(gè)粒兒，一個(gè)粒兒的數(shù)據(jù)就是離散型數(shù)據(jù)。
連續(xù)數(shù)據(jù)： 一個(gè)串兒，一個(gè)串兒的數(shù)據(jù)就是連續(xù)型數(shù)據(jù)。
好啦，開個(gè)玩笑！！！別打我，下面分享干貨！！！
其實(shí)上述描述并沒有錯(cuò)誤，離散型和連續(xù)型數(shù)據(jù)是一對相對概念，同樣的數(shù)據(jù)既可能是離散型數(shù)據(jù)，又可能是連續(xù)型數(shù)據(jù)。判別一個(gè)數(shù)據(jù)是連續(xù)還是離散最本質(zhì)的因素在于，一個(gè)數(shù)據(jù)組中數(shù)據(jù)總體的量級和數(shù)據(jù)粒度之間的差異。差異越大越趨近于連續(xù)型數(shù)據(jù)，差異越小越趨近于離散型數(shù)據(jù)。
舉個(gè)例子
人這個(gè)單位，對于一個(gè)家庭來說，就離散型數(shù)據(jù)，一個(gè)家庭可能有 3個(gè)人，4個(gè)人，5個(gè)人....等等。
對于一個(gè)國家來說，就是連續(xù)型數(shù)據(jù)，我們的國家有14億人口，那么以個(gè)人為單位在這個(gè)量級的數(shù)據(jù)群體里就是連續(xù)型數(shù)據(jù)。
清楚了離散型和連續(xù)型數(shù)據(jù)的差異，我們接下來一塊科普這幾種常用的特殊分布。
離散型分布
離散數(shù)據(jù)的概率分布，就是離散分布。這三類離散型的分布，在“0-1事件”中可以采用，就是一個(gè)事只有成功和失敗兩種狀態(tài)。
連續(xù)型分布
連續(xù)型分布本質(zhì)上就是求連續(xù)的一個(gè)數(shù)據(jù)段概率分布。
正態(tài)分布
f（x）----是該關(guān)于事件X的概率密度函數(shù)
μ --- 均值
σ^2 ---方差
σ ---標(biāo)準(zhǔn)差
綠色區(qū)域的面積 ---該區(qū)間段的概率
正態(tài)分布概率的求法
step1 --- 確定分布和范圍 ，求出均值和方差
step2 --- 利用標(biāo)準(zhǔn)分將正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 （還記得 第一部分的標(biāo)準(zhǔn)分嗎？）
step3 ---查表找概率
離散型分布? →? 正態(tài)分布 （離散分布轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布）
精彩的地方在這里，筆者已經(jīng)闡述了連續(xù)型數(shù)據(jù)和離散型數(shù)據(jù)是一對相對的概念，那么這就意味著在某種“邊界”條件下，離散型分布和連續(xù)型分布之間是可以相互轉(zhuǎn)化的。進(jìn)而簡化概率分布的計(jì)算。這里筆者不在偷懶直接上皂片了（編公式快吐了！！！！）
3
多個(gè)事件的情況：“概率樹”和“貝葉斯定理”
多個(gè)事件就要探討事件和事件之間的關(guān)系
對立事件：如果一個(gè)事件，A’包含所有A不包含的可能性，那么我們稱A’和A是互為對立事件
窮盡事件：如何A和B為窮盡事件，那么A和B的并集為1
互斥事件：如何A和B為互斥事件，那么A和B沒有任何交集
獨(dú)立事件：如果A件事的結(jié)果不會影響B(tài)事件結(jié)果的概率分布那么A和B互為獨(dú)立事件。
例子：10個(gè)球，我隨機(jī)抽一個(gè)，放回去還是10個(gè)球，第二次隨機(jī)抽,還是10選1，那么第一次和第二次抽球的事件就是獨(dú)立的。
相關(guān)事件：如果A件事的結(jié)果會影響B(tài)事件結(jié)果的概率分布那么A和B互為獨(dú)立事件。
例子：10個(gè)球，我隨機(jī)抽一個(gè)，不放回去還是10個(gè)球，第二次隨機(jī)抽是9選1，那么第一次和第二次抽球的事件就是相關(guān)的。
條件概率（條件概率，概率樹，貝葉斯公式）
條件概率代表：已知B事件發(fā)生的條件下，A事件發(fā)生的概率
概率樹 --- 一種描述條件概率的圖形工具。
假設(shè)有個(gè)甜品店，顧客買甜甜圈的概率是3/4 ；不買甜甜圈直接買咖啡的概率是1/3 ；同時(shí)買咖啡和甜甜圈概率是9/20。
從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)以下兩個(gè)信息
1. 顧客買不買甜甜圈可以影響喝不喝咖啡的概率，所以事件甜甜圈與事件咖啡是一組相關(guān)事件
2. 概率樹每個(gè)層級分支的概率和都是1
貝葉斯公式 ----提供了一種計(jì)算逆條件概率的方法
貝葉斯公式用于以下場景，當(dāng)我們知道A發(fā)生的前提下B發(fā)生的概率，我們可以用貝葉斯公式來推算出B發(fā)生條件下A發(fā)生的概率。
第二部分小節(jié)
1.? 事件，概率，概率分布之間的關(guān)系
2.? 期望，方差的意義
3. 連續(xù)型數(shù)據(jù)和離散型數(shù)據(jù)之間的區(qū)別和聯(lián)系
4. 幾何分布，二項(xiàng)分布，泊松分布，正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
5. 離散分布和正態(tài)分布可以轉(zhuǎn)化
6. 多個(gè)事件之間的關(guān)系，相關(guān)事件和獨(dú)立事件，條件概率和貝葉斯公式
第三部分
關(guān)于“小樣本”預(yù)測“大總體”
現(xiàn)實(shí)生活中，總體的數(shù)量如果過于龐大我們無法獲取總體中每個(gè)數(shù)據(jù)的數(shù)值，進(jìn)行對總體的特征提取進(jìn)而完成分析工作。那么接下來就用到了本章節(jié)的知識。
1
抽取樣本
總體：你研究的所有事件的集合
樣本：總體中選取相對較小的集合，用于做出關(guān)于總體本身的結(jié)論
偏倚：樣本不能代表目標(biāo)總體，說明該樣本存在偏倚
簡單隨機(jī)抽樣： 隨機(jī)抽取單位形成樣本。
分成抽樣： 總體分成幾組或者幾層，對每一層執(zhí)行簡單隨機(jī)抽樣
系統(tǒng)抽樣：選取一個(gè)參數(shù)K，每到第K個(gè)抽樣單位，抽樣一次。
2
預(yù)測總體（點(diǎn)估計(jì)預(yù)測，區(qū)間估計(jì)預(yù)測）
點(diǎn)估計(jì)量--- 一個(gè)總參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量就是可用于估計(jì)總體參數(shù)數(shù)值的某個(gè)函數(shù)或算式。
場景1： 樣本無偏的情況下，已知樣本，預(yù)測總體的均值，方差。
（1） 樣本的均值 = 總體的估算均值（總體均值的點(diǎn)估計(jì)量）? ≈ 總體實(shí)際均值（誤差是否可接受）
（2）總體方差? ? ?估計(jì)總體方差?
場景2：已知總體，研究抽取樣本的概率分布
比例抽樣分布：考慮從同一個(gè)總體中取得所有大小為n的可能樣本，由這些樣本的比例形成一個(gè)分布，這就是“比例抽樣分布”。樣本的比例就是隨機(jī)變量。
舉個(gè)栗子：已知所有的糖球（總體）中紅色糖球比例為0.25。從總體中隨機(jī)抽n個(gè)糖球，我們可以求用比例抽樣分布求出這n個(gè)糖球中對應(yīng)紅球各種可能比例的概率。
樣本均值分布：考慮同一個(gè)總體中所有大小為n的可能樣本，然后用這個(gè)樣本的均值形成分布，該分布就是“樣本均值分布” ，樣本的均值就是隨機(jī)變量。
中心極限定理：如果從一個(gè)非正態(tài)總體X中抽出一個(gè)樣本，且樣本極大（至少大于30），則圖片.png的分布近似正態(tài)分布。
區(qū)間估計(jì)量--- 點(diǎn)估計(jì)量是利用一個(gè)樣本對總體進(jìn)行估計(jì)，區(qū)間估計(jì)是利用樣本組成的一段區(qū)間對樣本進(jìn)行估計(jì)。
舉個(gè)栗子：今天下午3點(diǎn)下雨；今天下午3點(diǎn)到4點(diǎn)下雨。如果我們的目的是為了盡可能預(yù)測正確，你會使用那句話術(shù)？
如何求置信區(qū)間？（這里筆者講一下思路，不畫圖碼公式了，讀者有興趣可以查閱一下教材）
求置信區(qū)間簡便公式（直接上皂片）
關(guān)于C值參數(shù)：置信水平 90% C=1.64 ， 95% C=1.96 ， 99% C=2.58
待補(bǔ)充知識一（t分布）
我們之前的區(qū)間預(yù)測有個(gè)前提，就是利用了中心極限定理，當(dāng)樣本量足夠大的時(shí)候（通常大于30），均值抽樣分布近似于正態(tài)分布。若樣本量不夠大呢？這是同樣的思路，只是樣本均值分布將近似于另一種分布處理更加準(zhǔn)確，那就是t分布。這里筆者直接放張圖，不做拓展了。
待補(bǔ)充知識二（卡方分布）----注意待補(bǔ)充不代表不重要，是筆者水平有限，目前還不能用簡單的語言概述其中的精髓。
卡方分布的定義
若n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ、ξ、……、ξn ，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則這n個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和構(gòu)成一新的隨機(jī)變量，其分布規(guī)律稱為卡方分布。
卡方分布的應(yīng)用場景
用途1：用于檢驗(yàn)擬合優(yōu)度。也就是檢驗(yàn)一組給定的數(shù)據(jù)與指定分布的吻合程度；
用途2：檢驗(yàn)兩個(gè)變量的獨(dú)立性。通過卡方分布可以檢查變量之間是否存在某種關(guān)聯(lián):
3
驗(yàn)證結(jié)果（假設(shè)檢驗(yàn)）
假設(shè)檢驗(yàn)是一種方法用于驗(yàn)證結(jié)果是否真實(shí)可靠。具體操作分為六個(gè)步驟。
兩類錯(cuò)誤---即使我們進(jìn)行了“假設(shè)檢驗(yàn)”依然無法保證決策是百分百正確的，會出現(xiàn)兩類錯(cuò)誤
第一類錯(cuò)誤： 拒絕了一個(gè)正確的假設(shè)，錯(cuò)殺了一個(gè)好人
第二類錯(cuò)誤：接收了一個(gè)錯(cuò)誤的假設(shè)，放過了一個(gè)壞人
第三部分小節(jié)
1.? 無偏抽樣
2.? 點(diǎn)估計(jì)量預(yù)測（已知樣本預(yù)測總體，已知總體預(yù)測樣本）
3. 區(qū)間估計(jì)量預(yù)測（求置信區(qū)間）
4. 假設(shè)檢驗(yàn)
第四部分
?相關(guān)與回歸（y=ax+b）
這里介紹的相關(guān)和回歸是關(guān)于二維雙變量的最簡單最實(shí)用的線性回歸，非線性回歸這里不暫不做拓展。
散點(diǎn)圖：顯示出二變量數(shù)據(jù)的模式
相關(guān)性：變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。
線性相關(guān)性：兩個(gè)變量之間呈現(xiàn)的直線相關(guān)關(guān)系。
最佳擬合直線：與數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合程度最高的線。（即每個(gè)因變量的值與實(shí)際值的誤差平方和最小）
誤差平方和SSE：
線性回歸法：求最佳擬合直線的方法（y=ax+b），就是求參數(shù)a和b
斜率a公式：
b公式：
相關(guān)系數(shù)r：表征描述的數(shù)據(jù)與最佳擬合線偏離的距離。（r=-1完全負(fù)相關(guān)，r=1完全正相關(guān)，r=0不相關(guān)）
r公式：
結(jié)束語
筆者這里梳理了統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)最基礎(chǔ)的概念知識，盡量闡述清楚這些概念知識之間關(guān)聯(lián)的關(guān)系，以及應(yīng)用的場景。底層概念是上層應(yīng)用的基礎(chǔ)，當(dāng)今浮躁的“機(jī)器學(xué)習(xí)”，“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”，“AI自適應(yīng)”這些高大上的關(guān)鍵字滿天飛。筆者認(rèn)為踏踏實(shí)實(shí)的把“基礎(chǔ)”打扎實(shí)，才是向上發(fā)展的唯一途徑。
筆者水平有限，概念理解有偏差的地方歡迎批評指正。
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總結(jié)
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