網(wǎng)上搜了好多KM算法的文章，都寫得云里霧里。看了半天之后，我終于看懂了。其實(shí)KM算法非常簡單，只要會匈牙利算法了，一下就能看懂KM算法。

如果大家對自己的匈牙利算法不夠自信的話，可以先復(fù)習(xí)一下，放上我的上一篇文章。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/208596378?zhuanlan.zhihu.com

KM算法是解決什么問題的?

要知道，最大匹配不是唯一的，不同的人用匈牙利算法，可能找到不同的匹配結(jié)果。那么怎么評估這些不同的匹配呢？還是拿情侶配對舉例子，一種評價(jià)方法就是，看情侶彼此的滿意程度。比如，有的人當(dāng)媒人，介紹的每一對情侶都極其滿意，有的人當(dāng)媒人，雖然把情侶都湊在了一起，介紹的每一對情侶只是略微有意向，但是沒和最喜歡的在一起。

這個喜歡程度，就是給原本的二分圖，加了一個權(quán)重。

圖1 權(quán)重二分圖的最大匹配問題

在權(quán)重的前提下，該如何尋找最大匹配，且使得權(quán)重最大呢？KM算法就是為了解決這個問題的。

權(quán)重問題的轉(zhuǎn)化 / KM算法和匈牙利算法的關(guān)系

我剛開始學(xué)習(xí)的時候，根本沒有想明白，KM算法和匈牙利算法的關(guān)系。

遇到不會的問題，一個思路就是想辦法轉(zhuǎn)換成自己會的問題。我們現(xiàn)在知道匈牙利算法能解決最大匹配的問題，現(xiàn)在加了權(quán)重，KM算法實(shí)際上就是想了個辦法，將問題轉(zhuǎn)換成了匈牙利算法可以解決的形式。

現(xiàn)在二分圖帶了權(quán)重，可以理解為加了一種約束，這種約束讓我們優(yōu)先選擇那些權(quán)重大的邊出來，進(jìn)行匹配。

因此我們要先把權(quán)重最大的邊都挑出來，學(xué)術(shù)一點(diǎn)，就是挑一個子圖出來。因?yàn)槲覀兲舫鰜淼亩际菣?quán)重最大的邊，我們只要在這個子圖中，找到最大匹配，這個最大匹配一定是權(quán)重最大的（很重要，意思就是這個子圖里，在上面隨便找都是權(quán)重最大的匹配，這樣我們就能用匈牙利算法解決問題了）。流程就是：

找權(quán)重最大的邊組成的子圖--------→在這個子圖上找最大匹配

上述流程很簡單吧，有一個問題是，我們都找最大權(quán)重的邊組成子圖，這個子圖很小，很容易沖突。形象來說，大家找對象的要求都太高了，很可能會沒法滿足他們的要求。眾所周知，找不到對象是很慘的，因此對象還是得找的。這時候只能委屈一部分人，讓他稍微降低一下的要求，讓他從別的人里挑對象。

因此目前的流程變成了：

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這個KM算法的流程，核心思想就是：優(yōu)先選擇最滿意的，因?yàn)橐筇哒也坏綄ο蟮哪切┤?#xff0c;降低標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)大擇偶范圍，直到找到對象為止。

這個問題中，找最大匹配的那一部分我們會了呀，用匈牙利算法就搞定了。剩下就是兩個問題了：

（1）怎么找到這個所謂的“權(quán)重最大的子圖”。

（2）怎么擴(kuò)大擇偶范圍。既不能降得太低，也不能不降。

上述兩個問題，就是KM算法的精髓。

這個權(quán)重最大的子圖，就是“相等子圖”。擴(kuò)大擇偶范圍，就是“頂標(biāo)的更新---建立新的相等子圖”的過程。

要注意的是，上面說的權(quán)重最大，并不是整個圖的范圍內(nèi)權(quán)重越大越好，而是目前能力范圍內(nèi)我們能選的最大的權(quán)重邊（畢竟有些人需要降低標(biāo)準(zhǔn)才能找到對象）。

接下來就要講如何解決上面提出的兩個問題。

第一個問題 如何尋找“權(quán)重最大的”子圖？

首先強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，我們的這個子圖的目的，是為了實(shí)現(xiàn)一個效果：

在這個子圖上，不考慮權(quán)重找到最大匹配 等價(jià)于 在帶權(quán)重的圖上找權(quán)重最大的最大匹配。

我們挑一伙人出來，這些人彼此的滿意度都比較高，那些低的暫時不考慮。在這伙人里找對象。找不到了再考慮加人進(jìn)來。

為了實(shí)現(xiàn)這個目標(biāo)，我們給每個人，增加一個頂標(biāo)。我們暫不考慮這個頂標(biāo)是怎么加的，將在下一步中再詳細(xì)講這個問題。現(xiàn)在假設(shè)我們已經(jīng)有一個頂標(biāo)了。

這個頂標(biāo)是我們決定一條邊是否加入子圖的依據(jù)。頂標(biāo)可以理解為擇偶的最高標(biāo)準(zhǔn)，如果雙方的適配程度達(dá)到了這個最高標(biāo)準(zhǔn)，就加入到擇偶范圍內(nèi)來，就是加入到子圖中。

因此，比如說小王擇偶的最高標(biāo)準(zhǔn)是

，小李擇偶最高標(biāo)準(zhǔn)。小王和小李的喜歡程度是 （即二分圖中，小王和小李的連線權(quán)重），若

,

小王和小李的連線就加入子圖中，進(jìn)入擇偶候選人范圍。注意到上面這個等式，于是這樣選出來的子圖，叫做相等子圖。

然而這個最高標(biāo)準(zhǔn)，是不斷變化的。也就是下一個問題，如何不斷地調(diào)整最高標(biāo)準(zhǔn)，讓擇偶范圍不斷變化。

第二個問題 如何擴(kuò)大擇偶范圍？

我們這里拿一個具體的例子來看。

這里有5個女生x1-x5， 5個男生y1-y5。他們之間為0就是沒有連線，大于0的數(shù)是權(quán)重，就是他們相互喜歡的程度。

第一步，最高標(biāo)準(zhǔn)初始化。

需要注意的是，我們是一個無向的二分圖，意思就是權(quán)重是雙方共同的喜歡程度，因此可以選一個人作為代表就行了。于是，我們讓女生做單方面的選擇。

于是男生們的頂標(biāo)都設(shè)為0。

一開始女生們都想找最喜歡的對象，我們將她們的最高標(biāo)準(zhǔn)都設(shè)為她們最喜歡的那個。比如，x1對所有男生都有意向，喜歡程度分別是3,5,5,4,1。那小王目前的最高標(biāo)準(zhǔn)就是5。

在第一次選擇中，y2、y3加入擇偶范圍，其他三人暫不考慮。所有女生都這樣，選出自己最喜歡的加入擇偶范圍。

我們就得到了子圖

這樣的好處就是，這樣挑出來的子圖中，彼此喜歡程度一定是最大的。這樣我們就不用考慮權(quán)重的問題了，問題就變成了一個在局部子圖上，挑選最大匹配的問題，就可以用匈牙利算法解決了。

接下來，我們就用匈牙利算法來給她們分配對象。紅線表示匹配好了。

x1和x2都成功找到了對象。但是x3也愿意和y2一起。沖突了。一開始有了矛盾，我們先用匈牙利算法給她們嘗試解決一下。

我們找到一條增廣路，x3---y2---x1----y3。取個反，沖突就解決了。x3也找到了自己最滿意的對象。

輪到x4了。x4最滿意的是y2和y3，但是都被挑走了。我們先用匈牙利算法，給她也試一下。開始找增廣路。x4----y2----x3----y3------x1----y2----????，發(fā)現(xiàn)到了y2，找不下去了，又回到y(tǒng)3了。 我們優(yōu)先廣度，試試另一條路。 x4----y3-----x1------y2-----x3------y3----???，發(fā)現(xiàn)又找不下去了。

此時此刻，匈牙利算法也解決不了了，就要開始擴(kuò)大擇偶范圍了。

第二步，最高標(biāo)準(zhǔn)調(diào)整。

我們隨便選擇一條上面沒走下去的交替路（由于沒有成功找到另一個未匹配的對象，所以這條交替路沒有資格被稱為增廣路）比如就選這條：

x4----y2----x3----y3------x1----y2----????

這條路線，在很多文章里也會被成為交替樹。一旦找到增廣路，我們就能擴(kuò)大匹配范圍，給x4也找到對象。但是現(xiàn)在失敗了，這個失敗的本質(zhì)是和路線上的人發(fā)生了沖突。2

于是我們看看，有哪些人和x4的失敗有關(guān)。女生：x1，x3，x4。男生：y2，y3。

現(xiàn)在我們要協(xié)調(diào)這幾個人的擇偶最高標(biāo)準(zhǔn)（也就是他們的頂標(biāo)），擴(kuò)大擇偶范圍了。

首先，我們不能破壞原有的關(guān)系，原來的頂標(biāo)都是設(shè)計(jì)好的，能保證選到自己最喜歡的對象。所以要保證他們之間最高標(biāo)準(zhǔn)不變，這樣保證原來的匹配不會發(fā)生變化。

這里讓上面和x4沖突的這些人里：女生的頂標(biāo)減少，男生頂標(biāo)增加，這樣他倆合起來標(biāo)準(zhǔn)不變。

但是，女生的頂標(biāo)減小了，其他人的機(jī)會就來了。

再回到剛剛我們挑子圖的公式，就是小王配小李的這個等式，

,

現(xiàn)在小王因?yàn)楹蛣e人沖突了，降低了標(biāo)準(zhǔn)，W就減小了，也就是有些權(quán)重沒那么大的邊，現(xiàn)在有機(jī)會被加進(jìn)子圖里了。

現(xiàn)在女生：x1，x3，x4都喜歡y2和y3，發(fā)生沖突了，而y1,y4,y5還沒被他們考慮。原本x1的標(biāo)準(zhǔn)是5，現(xiàn)在她要考慮y1的話，x1y1權(quán)重是3，需要降低2個標(biāo)準(zhǔn)。

同理，x1y4需要降低1； x3y1需要降低2， x3y4需要降低4-1=3；x3y5需要降低4-0=4。x4也一樣算法。

所以考慮到最大權(quán)重，最少要降低1個標(biāo)準(zhǔn)。

因此我們把x1，x3，x4的標(biāo)準(zhǔn)-1，y2，y3對應(yīng)+1。

在這個標(biāo)準(zhǔn)下，我們依舊要挑滿足“兩人頂標(biāo)和=兩人連線權(quán)重”的邊。

可以看出來，x4同學(xué)降低標(biāo)準(zhǔn)后，所有男同學(xué)都滿足她的標(biāo)準(zhǔn)了。

這時候按照匈牙利算法，x4和y1配對，沖突了，找到增廣路x4---y1---x2---y4。取反后，x4和y1配對，x2和y4配對。

再給x5找對象。x5也找到了y5作為對象。

現(xiàn)在所有人都有對象了。

此時他們的權(quán)重為4+2+3+0+3+0+1+1 +0+0 =14。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的判别两棵树是否相等 设计算法_从匈牙利算法到KM算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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