目錄

• 一、前言
• 二、代數基本知識
• • 2.1群
  • • 2.1.1定義
    • 2.1.2循環群
    • 2.1.3加法循環群
  • 2.2環
  • • 2.2.1定義
    • 2.2.2交換環
    • 2.2.3整環
  • 2.3域
  • 2.4有限域
  • 2.5多項式環
• 三、加密算法
• • 3.1.$Zp$上的離散對數問題
  • 3.2ElGamal算法
  • 3.3Diffie-Hellman算法
  • 3.4橢圓曲線密碼
• 四、相關賽題
• • 4.1

一、前言

在公鑰加密體系中，除了基于大整數分解問題的RSA加密體制，另一類重要的加密體制是基于離散對數的難解性，如ECC橢圓曲線加密、Diffie-Hellman算法、ElGamal算法等。為了解決離散對數問題，本文首先介紹一些近世代數的基本知識，之后介紹幾類基于離散對數的加密體制，最后列出幾道CTF中的相關賽題。

二、代數基本知識

2.1群

2.1.1定義

設G是非空集合，若在G內定義一種代數運算?，且滿足下列4個條件，則稱G（對運算?）構成一個群：

• 封閉性：對任意的$a,b$ $\in$$G$，恒有$a?b$$\in$$G$;
• 結合律：對任意的$a,b,c$$\in$$G$，恒有$(a?b)?c=a?(b?c)$
• 有單位元：存在$e$$\in$$G$，對任意的$a$$\in$$G$,有 $a?e=e?a=a$
• 每個元存在逆元：對任意$a$$\in$$G$,存在$b$$\in$$G$,使得 $a?b=b?a=e$，稱 $b$ 為 $a$ 的逆元。

其中運算$?$可以是通常的乘法或者是加法。若$?$為乘法，則稱$G$為乘法群，單位元記為$1$。若$?$為加法，則稱$G$為加法群，單位元記為$0$。
一般情況下，記：$\underset{k個}{a?a?\dots ?a}$=$a$^k

群 $G$所含元素的個數，稱為該群的階。 若群$G$含有有限個元素，則稱$G$為有限群，否則，為無限群。

若對群$G$中任何$a,b$$\in$$G$，有 $a?b=b?a$，則稱$G$為交換群或$Abel$群。

2.1.2循環群

定義：設$（G，?）$是一個群，如果群$G$中存在一個元素$\alpha$，使得對群$G$任意元素$b$都存在一個整數$i$，使得$b=$$a$ⁱ則我們稱$G$是一個循環群。元素$\alpha$是$G$的一個生成元。

2.1.3加法循環群

整數的加法群是一個無限循環群，它由1生成。在這種情況下，冪被解釋為用加法合成的，因此$n$是1的n次冪。

例：（Z₆，$?$）是循環群，其中Z₆={0,1,2,3,4,5}，$?$為模6加法，其中生成元為1或5。

生成元的含義可以理解為：1或5的加法，可以實現群Z₆內所有的元素。
5 mod 6 = 5，35 mod 6 = 5
10 mod 6 = 4，40 mod 6 = 4，
15 mod 6 = 3，45 mod 6 = 3
20 mod 6 = 2，50 mod 6 = 2
25 mod 6 = 1，55 mod 6= 1
30 mod 6 = 0，60 mod 6= 0

所以通過生成元5的模6加法，可以得到群內的所有元素，實現循環群。而2，3，4不能作為生成元，是因為這些元素的模6加法并不能得到群內的所有元素，而且并不是連續循環的數。

乘法循環群也是同樣的道理。

有限循環群的生成元還具有以下性質：
（元素的階）：循環群$（G,?）$，$\alpha$為$G$的一個生成元，$1$為$G$的單位元，$G$的階為$n$,則：$a$ⁿ$=1$

2.2環

2.2.1定義

若集合$R$上定義了兩種二元運算：$+$（加法）和x（乘法），且滿足下列四個條件，則稱$R$ 對這兩種運算構成了一個環，記為$（R，+，x）$：

• $（R，+）$是一個Abel群，$R$關于加法是一個交換群，其恒等元為零元，用$0$表示。
• 乘法的封閉性：如果$a$和$b$都屬于$R$,則$ab$也屬于$R$。
• 乘法的結合律：對于$R$中的任意元素$a、b、c$，有$a(be)=(ab)c$成立。
• 分配律：對于$R$中的任意元素$a、b、c$，下面兩個式子總成立：$a(b+c)=ab+ac$；$(a+b)c=ac+be$

本質上說，環就是一個集合，我們可以在其上進行加法、減法$[a?b=a+(?b)]$和乘法而不脫離該集合。

例：實數上所有n階方陣的集合關于加法和乘法構成一個環。

2.2.2交換環

定義：環如果還滿足乘法的交換律，即對于$R$中任意元素$a、b$，有$ab=ba$成立，則被稱為是交換環

例：偶整數集合（包括正數、負數和0）記為$S$，在普通加法和乘法運算下是交換環；實數上所有n階方陣的集合關于加法和乘法則不構成一個交換環。

2.2.3整環

定義：整環是滿足以下公理的交換環：

乘法單位元：在$R$中存在元素$1$，使得對于$R$中的任意元素$a$，有$a1=1a=a$成立。

無零因子：如果有$R$中元素$a、b$,且 $ab=0$，則必有 $a = 0 $或 $b=0$。

例：普通加法和乘法運算下的整數集合（包括正數、負數和0）是一個整環。

2.3域

定義：設$F$是一個交換環，若$F$中的所有的非零元素對乘法都存在逆元，則$F$稱為一個域。如果一個域所包含的元素是有限的則稱此域是有限域，否則稱為無限域。有限域中所含元素的個數稱為有限域$(R,+,x)$的階。

本質上說，域就是一個集合,我們可以在其上進行加法、減法、乘法和除法而不脫離該集合。
除法又按以下規則來定義: $a/b=a($$b$^-1$)$。

例：有理數集合、實數集合以及復數集合都是域。而所有整數的集合并不是一個域，因為并不是集合中所有的元素都有乘法逆元；實際上，整數集合中只有元素$1$和$?1$有乘法逆元。

群、環、域的公理總結：

2.4有限域

定義1： 有限域又常稱為$Galois$域，并以$GF(q)$或$Fq$表示，其中$q$表示有限域的階。

定義2： 設$F1、F2$是兩個域，稱$F1$到$F2$的一個可逆映射$\sigma$為一個同構(映射)，如果$\sigma$是保持運算的映射，即對任意的$a，b$$\in$$F1$，有：$\sigma$(a + b) = $\sigma$(a) + $\sigma$(b)，$\sigma$（a · b）=$\sigma$(a) · $\sigma$(b)

定理3： 設$F$是有限域，則有：

在同構的意義下，階與$F$相同的有限域只有一個，同階的有限域必同構

有限域$F$的階必為某個素數的冪

設$F$的階為 $q=p$ⁿ ，$p$是一個素數，則$F$的任何一個子域的階為$p$^m，其中$m$是$n$的因子

$F$_q^* 為有限域 $F$_q的所有非零元構成的集合，則$F$_q^*關于乘法做成一個階為$q?1$的循環群。因此，對所有的$a$$\in$$F$_q，有$a$^q$=a$ 。這個群稱為$F$_q的乘法群，乘法群$F$_q^* 的生成元稱為$F$_q的本原元，共有$?$$(q?1)$個本原元。

設$F$_q(其中$q=p$ⁿ)是一個有限域，則對任何$a,b$$\in$$F$_q以及非負整數$K$$\ge$$0$，有：$(a+b)$^pk$=$$a$^pk $b$^pk

2.5多項式環

定義： 設$F$是一個域，多項式f(x)=a_nxⁿ+···+a₁x+a₀，其中$a_i$$\in$$F$，$n$$\in$$N$。

若$a_n=0$，稱$n$為該多項式的次數，稱為首項系數。

對于域$F$上$x$的多項式的全體組成的集合記為 $F[x]$。多項式$a(x)$ 的次數記為$deg(a(x))$

設存在多項式$f(x)$與$g(x)$，滿足：

• 加法運算：$f(x)+g(x)$$\in$$F[x]$
• 乘法運算：$f(x)?g(x)$$\in$$F[x]$

容易驗證$F[x]$對這樣定義的多項式加法與乘法構成一個交換環，稱為多項式交換環。

不可約多項式： 設$f(x)$是$F[x]$上的一個次數大于零的多項式，如果它不能分解成兩個低次數的多項式的乘積，則稱$f[x]$是$F$上的不可約多項式。

三、加密算法

3.1.$Zp$上的離散對數問題

$Zp$上的離散對數問題是指對于循環群 $Zp$（p是一個素數），$\alpha$是群$Zp$的生成元，對于任意的$c$$\in$$Zp$尋找唯一 的整數 $d$ $(0$ $\le$ $d$ $\le$ $p?1)$滿足：$C\equiv a^d(modp)$

我們把整數$d$記為$log$_α$c$，并稱之為離散對數。

3.2ElGamal算法

背景： ElGamal是建立在解有限乘法群上的離散對數問題的困難性基礎上的一種公鑰密碼體制。

算法描述：

• 公開參數：取大素數 $p$，并取$\alpha$是乘法群$Zp$^* { $1,\dots ，p?1$ }的一個生成元。
• 密鑰生成：隨機選取整數$d：0<d<(p?1)$并計算$\beta$=$\alpha$^d $modp$。其中公開參數：$p$和$\alpha$ ；公鑰：$\beta$；私鑰：$d$
• 加密運算：對于明文$m$，選取隨機整數$k:0<k<(p?1)$，計算：$c_1=$$\alpha$^k$modp$， $c_2=m$$\beta$^k$modp$，得到密文$c=(c_1,c_2)$。
• 解密運算：對于密文$c=(c_1,c_2)$，用私鑰$d$解密。$m=c_2$$(c_1$^d$)$^-1$modp$

計算離散對數的算法：

• Shanks算法
• 小步大步發（baby-step 、giant-step）算法
• Pohlig-Hellman算法
• 指數演算法(index-calculus)

3.3Diffie-Hellman算法

背景： Diffie-Hellman算法由Whitfield Diffie 和 Martin Hellman 提出，該算法的安全性也是基于一般有限域上的離散對數問題的難解性。該算法的目的是使兩個用戶能安全地交換密鑰，以便在后續的通信中用該密鑰對消息加密。該算法本身只限于進行密鑰交換。

算法描述：

3.4橢圓曲線密碼

四、相關賽題

4.1

題目鏈接buu平臺

#!/usr/bin/env python # -*- coding: utf-8 -*- from Crypto.Util.number import * import randomn = 2 ** 512 m = random.randint(2, n-1) | 1 c = pow(m, bytes_to_long(flag), n) print 'm = ' + str(m) print 'c = ' + str(c)# m = 391190709124527428959489662565274039318305952172936859403855079581402770986890308469084735451207885386318986881041563704825943945069343345307381099559075 # c = 6665851394203214245856789450723658632520816791621796775909766895233000234023642878786025644953797995373211308485605397024123180085924117610802485972584499

加密過程為：c = pow(m, bytes_to_long(flag), n)
即已知c, m, n求離散對數：bytes_to_long(flag) = log_(mmodn) (c mod n)

題解：

m = 391190709124527428959489662565274039318305952172936859403855079581402770986890308469084735451207885386318986881041563704825943945069343345307381099559075 c = 6665851394203214245856789450723658632520816791621796775909766895233000234023642878786025644953797995373211308485605397024123180085924117610802485972584499 n = 2 ** 512 import sympy from Crypto.Util.number import * flag=sympy.discrete_log(n,c,m) print(long_to_bytes(flag))

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【笔记】公钥密码学之基于离散对数的密码体制的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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