近世代數--內直積--內直積是什么？充要條件？

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

通過直積，我們可以把若干個小群組合成一個大群，也可以把一個大群分解成一些子群的乘積。

內直積：(internal direct product)

• $H?G,K?G$,
• $G=HK$
• $H\cap K=\{e\}$
• 則$G$是$H$和$K$的內直積

內直積性質：
性質1：$G$是$H$和$K$內直積的充分必要條件：
$H?G,K?G,$

• $G$中每個元可惟一表示為$hk$的形式，$h\in H,k\in K$；
• $?h\in H,?k\in K,$有$hk=kh$

證明：

• $G$是$H$和$K$內直積$\to G$中每個元可惟一表示為$hk$的形式，$h\in H,k\in K；$且$?h\in H,?k\in K,$有$hk=kh$

  • 證$G$中每個元可惟一表示為$hk$的形式，$h\in H,k\in K；$
    假設$?g\in G,$可以寫成
    $$\begin{gathered} g=hk=h^{\prime }{k}^{\prime },h,h^{\prime }\in H,k,k^{\prime }\in K, \\ \to h^{\prime ?1}h=k^{\prime }{k}^{?1}, \end{gathered}$$又因為$$\begin{gathered} h^{\prime ?1}h\in H，k^{\prime }{k}^{?1}\in K， \\ \to h^{\prime ?1}h=k^{\prime }{k}^{?1}\in H\cap K， \end{gathered}$$又$$\begin{gathered} H\cap K=e, \\ \to h^{\prime ?1}h=k^{\prime }{k}^{?1}=e, \\ \to h=h^{\prime },k=k^{\prime } \end{gathered}$$
  • 證$?h\in H,?k\in K,$有$hk=kh$
    $?h\in H,k\in K,g=hk{h}^{?1}{k}^{?1}\in G,$
    $$\begin{gathered} H?G, \\ \to k{h}^{?1}{k}^{?1}\in H, \\ \to g=hk{h}^{?1}{k}^{?1}\in hH=H \end{gathered}$$
    同理，$$\begin{gathered} K?G, \\ \to hk{h}^{?1}\in K, \\ \to g=hk{h}^{?1}{k}^{?1}\in K{k}^{?1}=K \end{gathered}$$
    所以$$\begin{gathered} g=hk{h}^{?1}{k}^{?1}\in H\cap K=e, \\ \to hk=kh \end{gathered}$$

• $G$中每個元可惟一表示為$hk$的形式，$h\in H,k\in K；$且$?h\in H,?k\in K,$有$hk=kh\to G$是$H$和$K$內直積
  要證$H?G,K?G$,$H\cap K=\{e\}$,$G=HK$

  • 證$G=HK$
    $G$中每個元可惟一表示為$hk$的形式，$h\in H,k\in K\to G=HK$
  • 證$H?G,K?G$
    $?g\in G,h_1\in H,$有$g{h}_1{g}^{?1}\in H$
    $$\begin{gathered} g{h}_1{g}^{?1} \\ =(hk)h_1(hk{)}^{?1} \\ =(hk)h_1(k^{?1}{h}^{?1}) \\ =h(k{h}_1)k^{?1}{h}^{?1} \\ =h(h_{1}k)k^{?1}{h}^{?1} \\ =h{h}_1{h}^{?1}\in H \end{gathered}$$
    同理證$K?G$
  • 證$H\cap K=\{e\}$
    $?g\in H\cap K,ge=g=eg$
    因為$G$中每個元可惟一表示為$hk$的形式，所以$ge=eg,g\in H\cap K,e\in H\cap K\to g=e,e=g$，即$H\cap K=\{e\}$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--内直积--内直积是什么？充要条件？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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