近世代數(shù)--整環(huán)上的整除理論--主理想整環(huán)中最大公因子的存在表示定理

• 在唯一分解整環(huán)中，任何兩個(gè)元素都有最大公因子
• 主理想整環(huán)
• 每一個(gè)主理想整環(huán)PID都是唯一分解整環(huán)UFD
• 主理想整環(huán)中最大公因子的存在表示定理

博主是初學(xué)近世代數(shù)（群環(huán)域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯(cuò)，歡迎指正。
我整理成一個(gè)系列：近世代數(shù)，方便檢索。

在唯一分解整環(huán)中，任何兩個(gè)元素都有最大公因子

我們知道，整數(shù)環(huán)$Z$中，任何兩個(gè)元素的最大公因子可表示為$a$、$b$的線性組合，即$d=(a,b)\to ?s,t\in Z,$使得$d=as+bt$

• 整環(huán)中的最大公因子：$D$為整環(huán)，$a,b,d\in D,d$滿足以下兩個(gè)條件，則$d=(a,b)$，記作$d=gcd(a,b)$
  • $d\mid a,d\mid b,\to d$是$a,b$的公因子
  • $?c$是$a,b$的公因子，有$c\mid d$

那么整環(huán)中，是否也有這樣的性質(zhì)呢？如果不是，在什么限制條件下，整環(huán)有這樣的性質(zhì)呢？

• 這里是唯一分解整環(huán)的概念，唯一分解整環(huán)中元素的標(biāo)準(zhǔn)分解式，有：在唯一分解整環(huán)中，任何兩個(gè)元素都有最大公因子

  證明：$D$為唯一分解整環(huán)，$a,b\in D,u\in U$

  $a=\alpha p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\dots p_s^{k_s},\alpha \in U$
  $b=\beta p_1^{l_1}{p}_2^{l_2}\dots p_s^{l_s},\beta \in U$

  • 令$m_i=min\{k_i,l_i\},d=p_1^{m_1}{p}_2^{m_2}\dots p_s^{m_s},$則有

    • $d\mid a$
    • $d\mid b$

  • 證$c\mid d$:

    $?c$是$a,b$的公因子，$c=\gamma p_1^{r_1}{p}_2^{r_2}\dots p_s^{r_s},\gamma \in U\to p_i^{r_i}\mid a,p_i^{r_i}\mid b$

    因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$r_i\le k_i,r_i\le l_i\to r_i\le m_i\to p_i^{r_i}\le p_i^{m_i}\to c\mid d$

主理想整環(huán)

這里是主理想的概念，

設(shè)$D$為整環(huán)，如果$D$的每一個(gè)理想都是主理想，則稱$D$為主理想整環(huán)，principle ideal domain，記作PID

每一個(gè)主理想整環(huán)PID都是唯一分解整環(huán)UFD

這里是主理想的組成：有單位元的交換環(huán)$R,<a>=aR=\{ar|r\in R\}$

根據(jù)唯一分解整環(huán)的充分條件，我們需要證：

• 主理想整環(huán)$\to$每一個(gè)真因子鏈都有限

  設(shè)$D$為主理想整環(huán)，
  $a_1{a}_2\dots a_n\dots$為$D$的一個(gè)真因子鏈，$$\begin{gathered} \to a_1=a_2{b}_2,b_2\in D \\ \to <a_1>=a_{1}D=a_2{b}_{2}D?a_{2}D=<a_2> \\ \to <a_1>?<a_2>?<a_3>\dots ?<a_n>?\dots \end{gathered}$$

  假設(shè)$I={\cup }_i<a_i>,$則$I$是理想，$\to I$是主理想$\to I=<d>,?d\in D$

  $I=<d>\to d\in I\to d\in <a_k>,k\in N\to <d>?<a_k>\to I?<a_k>$
  又$I={\cup }_i<a_i>\to <a_k>?I$
  故$I=<a_k>$，真因子鏈共$k$項(xiàng)，$k\in N$

• 主理想整環(huán)$\to$每一個(gè)不可約元都是素元

  $D$為主理想整環(huán)PID，$U$是單位/可逆元$u(u\in D)$組成的乘法群，$a\in D,a=0,a\in /U,($即$a$非零非單位)以下4個(gè)條件等價(jià)：

  • (1) $a$是素元
  • (2) $a$是不可約元
  • (3) $<a>$是極大理想
  • (4) $<a>$是素理想

  證明：

  • (1)$\to$(2) 整環(huán)中的素元是不可約元

  • (2)$\to$(3) 證明$a$是不可約元$\to <a>$是極大理想

    • 因?yàn)槔硐胗形招?/strong>，$$\begin{gathered} I?R，?r\in R,s\in I,rs,sr\in I \\ \to \end{gathered}$$如果$e\in I,$或者$$\begin{gathered} u\in I,\to u^{?1}\in I\to u{u}^{?1}\in I \\ \to ?r\in R,er=re=r\in I \\ \to I=R,I \end{gathered}$$是$R$的平凡理想
    • $a\in /U,<a>=D$，即$<a>$是真理想，現(xiàn)在要證$<a>$是極大理想，即$?I?D,<a>?I\to I=D$
    • 設(shè)$<a>?I?D,$因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$D$是主理想整環(huán)UFD，所有理想$I?$都是主理想，可以寫(xiě)成$I=<b>,b\in D$的形式，$$\begin{gathered} \to <a>?<b> \\ \to a\in <b> \\ \to ?c\in D, \end{gathered}$$使$a=bc$，又$a$是不可約元，$\to a～b,c\in U$或$a～c,b\in U$，因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$$\begin{gathered} <a>=<b> \\ \to a～c,b\in U \\ \to <b>=D, \end{gathered}$$即$I=D$

  • (3)$\to$(4) 整環(huán)中的極大理想是素理想

  • (4)$\to$(2) 證明$<a>$是素理想$\to a$是素元

    設(shè)$$\begin{gathered} a\mid bc \\ \to bc\in <a> \end{gathered}$$，又$<a>$是素理想$\to b\in <a>$或$$\begin{gathered} c\in <a> \\ \to a\mid b \end{gathered}$$或$a\mid c$