近世代数--整环上的整除理论--主理想整环中最大公因子的存在表示定理
近世代數(shù)--整環(huán)上的整除理論--主理想整環(huán)中最大公因子的存在表示定理
- 在唯一分解整環(huán)中,任何兩個(gè)元素都有最大公因子
- 主理想整環(huán)
- 每一個(gè)主理想整環(huán)PID都是唯一分解整環(huán)UFD
- 主理想整環(huán)中最大公因子的存在表示定理
博主是初學(xué)近世代數(shù)(群環(huán)域),本意是想整理一些較難理解的定理、算法,加深記憶也方便日后查找;如果有錯(cuò),歡迎指正。
我整理成一個(gè)系列:近世代數(shù),方便檢索。
在唯一分解整環(huán)中,任何兩個(gè)元素都有最大公因子
我們知道,整數(shù)環(huán)ZZZ中,任何兩個(gè)元素的最大公因子可表示為aaa、bbb的線性組合,即d=(a,b)→?s,t∈Z,d=(a,b)\rightarrow \exists s,t\in Z,d=(a,b)→?s,t∈Z,使得d=as+btd=as+btd=as+bt
- 整環(huán)中的最大公因子:DDD為整環(huán),a,b,d∈D,da,b,d\in D,da,b,d∈D,d滿足以下兩個(gè)條件,則d=(a,b)d=(a,b)d=(a,b),記作d=gcd(a,b)d=gcd(a,b)d=gcd(a,b)
- d∣a,d∣b,→dd\mid a,d\mid b,\rightarrow dd∣a,d∣b,→d是a,ba,ba,b的公因子
- ?c\forall c?c是a,ba,ba,b的公因子,有c∣dc\mid dc∣d
那么整環(huán)中,是否也有這樣的性質(zhì)呢?如果不是,在什么限制條件下,整環(huán)有這樣的性質(zhì)呢?
-
這里是唯一分解整環(huán)的概念,唯一分解整環(huán)中元素的標(biāo)準(zhǔn)分解式,有:在唯一分解整環(huán)中,任何兩個(gè)元素都有最大公因子
證明:DDD為唯一分解整環(huán),a,b∈D,u∈Ua,b\in D,u\in Ua,b∈D,u∈U
a=αp1k1p2k2…psks,α∈Ua=\alpha p_1^{k_1}p_2^{k_2}…p_s^{k_s},\alpha \in Ua=αp1k1??p2k2??…psks??,α∈U
b=βp1l1p2l2…psls,β∈Ub=\beta p_1^{l_1}p_2^{l_2}…p_s^{l_s},\beta\in Ub=βp1l1??p2l2??…psls??,β∈U-
令mi=min{ki,li},d=p1m1p2m2…psms,m_i=min\{k_i,l_i\},d=p_1^{m_1}p_2^{m_2}…p_s^{m_s},mi?=min{ki?,li?},d=p1m1??p2m2??…psms??,則有
- d∣ad\mid ad∣a
- d∣bd\mid bd∣b
-
證c∣dc\mid dc∣d:
?c\forall c?c是a,ba,ba,b的公因子,c=γp1r1p2r2…psrs,γ∈U→piri∣a,piri∣bc=\gamma p_1^{r_1}p_2^{r_2}…p_s^{r_s},\gamma \in U\rightarrow p_i^{r_i}\mid a,p_i^{r_i}\mid bc=γp1r1??p2r2??…psrs??,γ∈U→piri??∣a,piri??∣b
因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">ri≤ki,ri≤li→ri≤mi→piri≤pimi→c∣dr_i\le k_i,r_i\le l_i\rightarrow r_i\le m_i\rightarrow p_i^{r_i}\le p_i^{m_i}\rightarrow c\mid dri?≤ki?,ri?≤li?→ri?≤mi?→piri??≤pimi??→c∣d
-
主理想整環(huán)
這里是主理想的概念,
設(shè)DDD為整環(huán),如果DDD的每一個(gè)理想都是主理想,則稱DDD為主理想整環(huán),principle ideal domain,記作PID
每一個(gè)主理想整環(huán)PID都是唯一分解整環(huán)UFD
這里是主理想的組成:有單位元的交換環(huán)R,<a>=aR={ar∣r∈R}R,<a>=aR=\{ar|r\in R\}R,<a>=aR={ar∣r∈R}
根據(jù)唯一分解整環(huán)的充分條件,我們需要證:
-
主理想整環(huán)→\rightarrow→每一個(gè)真因子鏈都有限
設(shè)DDD為主理想整環(huán),
a1a2…an…a_1a_2…a_n…a1?a2?…an?…為DDD的一個(gè)真因子鏈,→a1=a2b2,b2∈D→<a1>=a1D=a2b2D?a2D=<a2>→<a1>?<a2>?<a3>…?<an>?…\\\rightarrow a_1=a_2b_2,b_2\in D\\\rightarrow <a_1>=a_1D=a_2b_2D\subsetneq a_2D=<a_2>\\\rightarrow <a_1>\subsetneq <a_2>\subsetneq <a_3>…\subsetneq <a_n>\subsetneq…→a1?=a2?b2?,b2?∈D→<a1?>=a1?D=a2?b2?D?a2?D=<a2?>→<a1?>?<a2?>?<a3?>…?<an?>?…假設(shè)I=∪i<ai>,I=\cup_{i}<a_i>,I=∪i?<ai?>,則III是理想,→I\rightarrow I→I是主理想→I=<d>,?d∈D\rightarrow I=<d>,\exists d\in D→I=<d>,?d∈D
I=<d>→d∈I→d∈<ak>,k∈N→<d>?<ak>→I?<ak>I=<d>\rightarrow d\in I\rightarrow d\in<a_k>,k\in N\rightarrow <d>\subseteq <a_k>\rightarrow I\subseteq<a_k>I=<d>→d∈I→d∈<ak?>,k∈N→<d>?<ak?>→I?<ak?>
又I=∪i<ai>→<ak>?II=\cup_i<a_i>\rightarrow <a_k>\subseteq II=∪i?<ai?>→<ak?>?I
故I=<ak>I=<a_k>I=<ak?>,真因子鏈共kkk項(xiàng),k∈Nk\in Nk∈N -
主理想整環(huán)→\rightarrow→每一個(gè)不可約元都是素元
DDD為主理想整環(huán)PID,UUU是單位/可逆元u(u∈D)u(u\in D)u(u∈D)組成的乘法群,a∈D,a≠0,a?U,(a\in D,a\neq 0,a\notin U,(a∈D,a?=0,a∈/?U,(即aaa非零非單位)以下4個(gè)條件等價(jià):
- (1) aaa是素元
- (2) aaa是不可約元
- (3) <a><a><a>是極大理想
- (4) <a><a><a>是素理想
證明:
-
(1)→\rightarrow→(2) 整環(huán)中的素元是不可約元
-
(2)→\rightarrow→(3) 證明aaa是不可約元→<a>\rightarrow <a>→<a>是極大理想
- 因?yàn)槔硐胗形招?/strong>,I?R,?r∈R,s∈I,rs,sr∈I→I\triangleleft R,\forall r\in R,s\in I,rs,sr\in I\\\rightarrowI?R,?r∈R,s∈I,rs,sr∈I→如果e∈I,e\in I,e∈I,或者u∈I,→u?1∈I→uu?1∈I→?r∈R,er=re=r∈I→I=R,Iu\in I,\rightarrow u^{-1}\in I\rightarrow uu^{-1}\in I\\\rightarrow \forall r\in R,er=re=r\in I\\\rightarrow I=R,Iu∈I,→u?1∈I→uu?1∈I→?r∈R,er=re=r∈I→I=R,I是RRR的平凡理想
- a?U,<a>≠Da\notin U,<a>\neq Da∈/?U,<a>?=D,即<a><a><a>是真理想,現(xiàn)在要證<a><a><a>是極大理想,即?I?D,<a>?I→I=D\forall I\triangleleft D,<a>\subsetneq I\rightarrow I=D?I?D,<a>?I→I=D
- 設(shè)<a>?I?D,<a>\subsetneq I\triangleleft D,<a>?I?D,因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">DDD是主理想整環(huán)UFD,所有理想I?I\triangleleftI?都是主理想,可以寫(xiě)成I=<b>,b∈DI=<b>,b\in DI=<b>,b∈D的形式,→<a>?<b>→a∈<b>→?c∈D,\\\rightarrow <a>\subsetneq <b>\\\rightarrow a\in <b>\\\rightarrow \exists c\in D,→<a>?<b>→a∈<b>→?c∈D,使a=bca=bca=bc,又aaa是不可約元,→a~b,c∈U\\\rightarrow a\sim b,c\in U→a~b,c∈U或a~c,b∈Ua\sim c,b\in Ua~c,b∈U,因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline"><a>≠<b>→a~c,b∈U→<b>=D,<a>\neq <b>\\\rightarrow a\sim c,b\in U\\\rightarrow <b>=D,<a>?=<b>→a~c,b∈U→<b>=D,即I=DI=DI=D
-
(3)→\rightarrow→(4) 整環(huán)中的極大理想是素理想
-
(4)→\rightarrow→(2) 證明<a><a><a>是素理想→a\rightarrow a→a是素元
設(shè)a∣bc→bc∈<a>a\mid bc\\\rightarrow bc\in<a>a∣bc→bc∈<a>,又<a><a><a>是素理想→b∈<a>\\\rightarrow b\in <a>→b∈<a>或c∈<a>→a∣bc\in <a>\\\rightarrow a\mid bc∈<a>→a∣b或a∣ca\mid ca∣c
主理想整環(huán)中最大公因子的存在表示定理
DDD為主理想整環(huán)PID,?a,b∈D,?u,v∈D,\forall a,b\in D,\exists u,v\in D,?a,b∈D,?u,v∈D,使gcd(a,b)=au+bvgcd(a,b)=au+bvgcd(a,b)=au+bv
證明:
- 找到ddd:<d>=<a,b>→d∈<a,b>→?u,v∈D,<d>=<a,b>\rightarrow d\in<a,b>\rightarrow \exists u,v\in D,<d>=<a,b>→d∈<a,b>→?u,v∈D,使au+bv=dau+bv=dau+bv=d
- 證明ddd:
- a,b∈<a,b>=<d>→d∣a,d∣ba,b\in<a,b>=<d>\rightarrow d\mid a,d\mid ba,b∈<a,b>=<d>→d∣a,d∣b
- ?c,c∣a,c∣b,→c∣au+bv→c∣d\forall c,c\mid a,c\mid b,\rightarrow c\mid au+bv\rightarrow c\mid d?c,c∣a,c∣b,→c∣au+bv→c∣d
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--整环上的整除理论--主理想整环中最大公因子的存在表示定理的全部?jī)?nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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