近世代數--整環上的唯一分解問題--唯一分解整環中元素的標準分解式

• 定義UFD時元素的分解式
• UFD中元素的標準分解式

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

定義UFD時元素的分解式

這里是唯一分解整環的基本概念。

$D$為整環，$U$是單位群，$a\in D,a=0,a\in /U,$

• 元素有唯一分解：

  • $a$可分解為有限多個不可約元的乘積：$a=p_1{p}_2\dots p_s$

  • 上述分解在相伴的意義下是唯一的，即如果$a$有兩種不可約分解，

    $a=p_1{p}_2\dots p_s=q_1{q}_2\dots q_t$，則
    $s=t,$交換因子次序會有$p_i～q_i,i=1,2,\dots s$

  則稱$a$有唯一分解。

此處的分解在相伴意義下唯一，是指兩個分解在相伴意義下等價，即交換次序有$p_i～q_i,i=1,2,\dots s$，沒有說明$p_i～p_j$是否一定不存在，即沒有說明$p_i$與$p_j$是否相伴。

我們其實可以知道，在這種定義下:"$a=p_1{p}_2\dots p_s,$"，$p_i～p_j$是可能存在的。

UFD中元素的標準分解式

現在定義$a$的標準分解式：

• $D$為UFD，$a\in D,a=0,a\in /U,a$有唯一分解。
• 設$a$的所有互不相伴的不可約因子為：$p_1{,}_2,\dots p_s$，則$a$的任一不可約因子$p$，有$p～p_i$
• $a$的標準分解式為$a=u{p}_1^{r_1}{p}_2^{r_2}\dots p_s^{r_s},u\in U,u\in D,r_1\dots r_s\in N$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--整环上的唯一分解问题--唯一分解整环中元素的标准分解式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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