分式包括分式的概念、分式的基本性質、分式的運算、簡單的分式方程等主要內容。

?從整式到分式,我們可以形象地說是從“平房”到了“樓房”在腳手架上活動,無疑增加了難點,體現在:解分式問題總是在分式有意義的前提下進行的,因此必須考慮字母取值范圍;分式運算中的通分和約分是技巧性較強的工作,需要靈活處理

分式的運算與分數的運算相似,是以分式的基本性質、運算法則、通分和約分為基礎,是以整式的變形、因式分解為工具,分式的加減運算是分式運算的難點,突破這一難點的關鍵是能根據問題的特點恰當地通分,常用通分的策略與技巧有:化整為零,分組通分;步步為營,分步通分;減輕負擔,先約分再通分;裂項相消后通分等

整體與局部是一對矛盾,又可相互轉化,當一個數學回題不能或不便于從整體上加以解決時,我們常從局部入手將原題分解,這就是解題的分解策略.解絕對值問題時用的分段、分類討論,因式分解的分組分解法,分式運算中的分步分組通分等,是分解策略的具體運用

從條件$a+b+c=0$出發,可導出以下重要結論

構造相反數得:$a+b=-c$

移項平方得:$a^2+b^2-c^2=-2ab$

$a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)$

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b^2}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2y$

$a^3+b^3+c^3=3abc$

與特殊是對立統一的矛盾關系,二者相互依存、相互轉化,從特殊到一般和從一般到特殊是人類認識世界的一般規律

拿到一道數學題,該怎樣入手?當代著名美國數學家波利亞說過:“我們應該討論一般化、特殊化和類比這些過程本身,它們是獲得發現的偉大源泉.”

為了思維的靈活性,為了更深入本質地認識問題,解題思路的探尋與解后反思常經歷下面兩個途徑

清晰地展示問題的特殊性

深刻地星現問題的一般性

求證;對任意兩兩不等的三個數$a,b,c$,都有$\frac{(a+b-c)^2}{(a-c)(b-c)}+\frac{(b+c-a)^2}{(b-a)(c-a)}+\frac{(c+a-b)^2}{(c-b)(a-b)}$是常數

給出一定的條件,在此條件下求分式的值稱為有條件的分式求值.而分式的化簡與求值是緊密相連的,求值之前必須先化簡,化簡的目的是為了求值,先化簡后求值是解有條件的分式化簡與求值的基本策略

解有條件的分式化簡與求值問題時,既要瞄準目標,又要抓住條件;既要根據目標變換條件,又要依據條件來調整日標,除了要用到整式化簡求值的知識方法外,還常常用到如下技巧:恰當引入參數;取倒數或利用倒數關系;拆項變形或拆分變形;整體代入;利用比例性質等

在解某些含多個字母的代數問題時,如果已知與未知之間的聯系不明顯,為了溝通已知與未知之間的聯系,則可考慮引入一個參數,參數的引入,可起到溝通變元、消元的作用

若$x^2-px+1=0$(p為不為零的常數),則

$x^2+1=px,x^2-px=-1$

$x+\frac{1}{x}$進而可求出$x^2+\frac{1}{x^2}$、$x^3+\frac{1}{x^3}$等代數式的值

代數式的值在直接求解、求證原問題難以入手時,把原問題作適當的變換,如換一種說法、換一種形式,構造一個或幾個比原問題簡單成熱悉,易于求解的新問題,通過對新問題的研究,發現原問題的解題思路,這就是數學解題中的轉換思想

通過尋找目標差，不斷縮小目標差而實現解題的思考方法，稱為差異分析法。

從何處入手?向哪里邁進?這是差異分析法解決問題的兩個基本切入點,

目標意識、減少差異、消除差異,成功實現代數恒等變形中的有序推理

解數學題是運用已知條件去揮求未知結論的一個過程,如何運用已知條件是解題順暢的重要前提,對已知條件的運用有下列途徑:

直接運用條件;

變形運用條件;

綜合運用條件;

挖抵隱含條件

解分式方程時，紀要舍去增根，又要善于利用增根，確定方程中的參數值或取值范圍

已知關于$x$的分式方程$\frac{x+k}{x+1}-\frac{k}{x-1}=1$的解為負數,求$k$的取值范圍

當$a$為何值時,關于$x$的分式方程$\frac{1}{x-1}-\frac{a}{2-x}=\frac{2(a+1)}{x^2-3x+2}$總無解?