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善道：線性系統(tǒng)控制入門(六)用能控標(biāo)準(zhǔn)型設(shè)計(jì)控制器?zhuanlan.zhihu.com

在利用狀態(tài)方程設(shè)計(jì)MIMO的能控標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)是完全不考慮輸出變量

而直接預(yù)給的，MIMO系統(tǒng)的輸出動(dòng)態(tài)可能會(huì)因?yàn)闋顟B(tài)變量之間的耦合導(dǎo)致變換到能控標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)無(wú)法保證期望的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)。這就是輸入輸出變量解耦的必要性，這樣輸入和輸出就不會(huì)耦合在一起，期望的動(dòng)態(tài)會(huì)被直接加在輸出上。

接下來(lái)假設(shè)，輸入控制量

輸出變量 具有相同的維度，即 。這種控制器的設(shè)計(jì)方法其實(shí)最開(kāi)始源自Falb和Wolovich，還有更多的方法論都是基于輸入輸出線性化的非線性系統(tǒng)的理論。

7.1 相對(duì)微分度

要實(shí)現(xiàn)輸入輸出的解耦，需要用到相對(duì)微分度(relativer Grad)的概念。考察一個(gè)MIMO的系統(tǒng)

(7.1)

定義7.1 向量形式的相對(duì)微分度
式(7.1)表示的線性系統(tǒng)會(huì)能用有向量表示的 個(gè)相對(duì)微分度 ，如果滿足
①
②一個(gè) 的矩陣
(7.2)
是滿秩可逆的，即

指數(shù)

的意義是很清楚的，當(dāng)輸出 關(guān)于時(shí)間連續(xù)求導(dǎo)后有

(7.3)

我們知道滿足這樣所有假設(shè)①②后，就能得到獨(dú)立的

個(gè)相對(duì)微分度 ，它表示從 個(gè)輸入 開(kāi)始，各有 個(gè)解耦后的相對(duì)的微分度為 的階數(shù)逐步遞增的微分方程。而且輸出變量 必須經(jīng)歷 次微分以后才會(huì)第一次到達(dá)輸入端，也就是每個(gè)控制輸入變量 的直接作用只出現(xiàn)在第 階的輸出變量上，之后的影響都是間接積分得到。輸入量只在入口處出現(xiàn)，跟后面中間過(guò)渡量無(wú)關(guān)，所以輸入輸出是解耦的。

當(dāng)所有相對(duì)微分度之和的總微分度不超過(guò)系統(tǒng)階數(shù)時(shí)

(7.4)

那么最高階的輸出變量的

就決定了系統(tǒng)的輸入輸出解耦形式，把(7.3)最后一行表示的寫得緊湊一點(diǎn)

(7.5)

顯然SISO系統(tǒng)的微分度只是MIMO系統(tǒng)的相對(duì)微分度的一維簡(jiǎn)化，即

時(shí)。定義7.1的簡(jiǎn)化為

(7.6)

7.2 輸入輸出標(biāo)準(zhǔn)型

相對(duì)微分度向量

能用來(lái)確定正則的狀態(tài)變量變換矩陣

(7.7)

, ,

第一個(gè)

行的狀態(tài)變量 表示了所有輸出變量 的導(dǎo)數(shù) 。如果想使得狀態(tài)變量的變換矩陣 存在且可逆，必須使剩下的變換矩陣 ，所以

(7.8)

所以能導(dǎo)出輸入輸出標(biāo)準(zhǔn)型的變換定理

定理 7.1 線性輸入輸出標(biāo)準(zhǔn)型
一個(gè)式(7.1)決定的線性系統(tǒng)的輸出 有相對(duì)微分度向量 ，且總的相對(duì)微分?jǐn)?shù) 。那么總可以選出一個(gè)變換矩陣來(lái)保證總的變換矩陣 是可逆的，并且系統(tǒng)能夠變成輸入輸出標(biāo)準(zhǔn)型
(7.9)輸入輸出動(dòng)態(tài)：
(7.10)內(nèi)動(dòng)態(tài)：
其中變換后的輸出變量為 , ，其他矩陣向量分別為
(7.11)

這合計(jì)

條對(duì)解耦狀態(tài)變量 的積分鏈，產(chǎn)生了系統(tǒng)輸入輸出解耦的動(dòng)態(tài)，而剩下的子系統(tǒng)的狀態(tài)變量 就描述了所謂的系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)(interne Dynamik)。在許多情況下，子系統(tǒng)的狀態(tài)變量 也都可以分配給變換前系統(tǒng)唯一對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量 ，其經(jīng)由 得到。

7.3 狀態(tài)解耦和特征值預(yù)給

取式(7.5)，它其實(shí)就是每個(gè)相對(duì)微分度下解耦的最后一行

(7.12)

因?yàn)榛炯僭O(shè)，即耦合矩陣

滿秩可逆，且存在微分度向量 那么原本的輸入控制變量 就還可以用新的輸入控制量 表示

(7.13)

于是導(dǎo)出了輸入輸出解耦的形式

(7.14)

其中有(7.15)

對(duì)于每一條積分鏈的輸出端，

可以借助新的輸入端 實(shí)現(xiàn)既定目標(biāo)的控制。根據(jù)式(7.14)可知，新輸入量會(huì)對(duì)系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)產(chǎn)生影響，而新輸入量也可以像之前能控標(biāo)準(zhǔn)型一樣，任意配置系統(tǒng)期望的內(nèi)動(dòng)態(tài)，依據(jù)

(7.16)

圖7.1 解耦后的輸入輸出標(biāo)準(zhǔn)型

依然是目標(biāo)特征多項(xiàng)式的系數(shù)

(7.17)

然而，與原來(lái)單單只用特征值預(yù)給可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性不同的是，采用輸入輸出解耦形式時(shí)，內(nèi)動(dòng)態(tài)的穩(wěn)定性是對(duì)整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定性有決定性的作用。其次，因?yàn)閷?shí)際的輸入變量

因?yàn)槭?7.13)而讓內(nèi)動(dòng)態(tài)狀態(tài)變量 實(shí)實(shí)在在地出現(xiàn)。當(dāng)內(nèi)動(dòng)態(tài)是不穩(wěn)定的時(shí)候，也會(huì)導(dǎo)致 過(guò)高的調(diào)控幅值。

如果想要獲取內(nèi)動(dòng)態(tài)的實(shí)際穩(wěn)定性，我們不應(yīng)該讓輸入狀態(tài)以及其他非內(nèi)動(dòng)態(tài)的狀態(tài)變量影響它，也就是讓內(nèi)動(dòng)態(tài)變?yōu)樽灾蜗到y(tǒng)，于是我們就需要考察所謂的零動(dòng)態(tài)(Nulldynamik)，先讓其他狀態(tài)變量以及輸入量全部置零

于是由解耦形態(tài)直接獲得零動(dòng)態(tài)

(7.18)

零動(dòng)態(tài)是一種特殊的內(nèi)動(dòng)態(tài)，當(dāng)所有輸出量都保持零時(shí)，它表達(dá)了系統(tǒng)最后剩下的動(dòng)態(tài)。只有當(dāng)零動(dòng)態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，整個(gè)系統(tǒng)才能保持漸近穩(wěn)定。

整個(gè)經(jīng)過(guò)解耦的輸入輸出標(biāo)準(zhǔn)型，依然可以利用反饋律進(jìn)行特征值的配置，利用Ackermann公式和式(7.14)，類似得到

定理7.2 輸入輸出解耦的狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)
式(7.1)所示的MIMO線性系統(tǒng)有相對(duì)微分度向量 ，經(jīng)過(guò)輸入輸出解耦后，得到形如式(7.9)的表達(dá)，并且零動(dòng)態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。那么會(huì)有反饋控制律以及Kalman增益矩陣
(7.19)
使系統(tǒng)能夠漸近穩(wěn)定。其中耦合矩陣 來(lái)自(7.2)，而系數(shù) 來(lái)自特征多項(xiàng)式(7.17)。

解耦的輸入輸出標(biāo)準(zhǔn)型的Ackermann公式和原本普通的MIMO的標(biāo)準(zhǔn)型不一樣，原本Ackermann公式使用變換向量

以及耦合矩陣 ,而輸入輸出標(biāo)準(zhǔn)型則直接使用輸出向量 和新的耦合矩陣 ，有相對(duì)微分度向量 ，且總的相對(duì)微分?jǐn)?shù) 時(shí)，會(huì)留出 階的系統(tǒng)內(nèi)動(dòng)態(tài)，只有當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)動(dòng)態(tài)，或者零動(dòng)態(tài)穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)才完全穩(wěn)定。

反饋控制矩陣可以使得輸入輸出解耦的子系統(tǒng)穩(wěn)定，整個(gè)經(jīng)由反饋調(diào)整后的解耦子系統(tǒng)可如下表示

(7.20)

因充分解耦，可把每個(gè)矩陣塊

組成總的解耦子系統(tǒng)矩陣是對(duì)角矩陣 。并且考慮內(nèi)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，會(huì)有

(7.21)

且有(7.22)

，它的每一個(gè)向量 都對(duì)應(yīng)了所屬特征多項(xiàng)式的系數(shù)。因而可求最終合成閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)矩陣 的特征值

(7.23)

閉環(huán)系統(tǒng)的特征值正好分別是預(yù)給特征多項(xiàng)式和零動(dòng)態(tài)多項(xiàng)式的乘積！也就是說(shuō)，系統(tǒng)總的特征值是獨(dú)立分開(kāi)的，解耦部分用預(yù)給特征多項(xiàng)式保證穩(wěn)定性，內(nèi)動(dòng)態(tài)用

的特征值保證穩(wěn)定性。

7.4 系統(tǒng)零動(dòng)態(tài)的含義

借助SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，我們會(huì)更容易看出系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)行為。

(7.24)

顯然，上面這個(gè)分子分母互質(zhì)的傳遞函數(shù)的微分度是

，它的能控標(biāo)準(zhǔn)型為

(7.25)

這個(gè)形式也是對(duì)傳遞函數(shù)的最小實(shí)現(xiàn)。現(xiàn)在把它變成解耦的輸入輸出標(biāo)準(zhǔn)型，需要借助

(7.26)

其中有

,

所以解耦的輸入輸出標(biāo)準(zhǔn)型為

(7.27)

它的內(nèi)動(dòng)態(tài)的細(xì)節(jié)有

(7.28)

因此內(nèi)動(dòng)態(tài)的狀態(tài)方程為

(7.29)

令

，于是有零動(dòng)態(tài) ，求其特征值

(7.30)

所以零動(dòng)態(tài)的特征值對(duì)應(yīng)了的傳遞函數(shù)零點(diǎn)！所以只要零動(dòng)態(tài)穩(wěn)定，其所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)的零點(diǎn)就會(huì)落在左半平面。當(dāng)系統(tǒng)是非最小相位的時(shí)候，會(huì)有一個(gè)或者多個(gè)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)在右半平面，也就是說(shuō)內(nèi)動(dòng)態(tài)是不穩(wěn)定的。所以一個(gè)狀態(tài)反饋控制器在解耦的輸入輸出標(biāo)準(zhǔn)型下設(shè)計(jì)的時(shí)候，必須要求系統(tǒng)是最小相位的，這樣才可以穩(wěn)定。

這一章我們深入探討了考慮了系統(tǒng)輸出之后應(yīng)當(dāng)使輸入輸出解耦的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方案，還引入了解耦后出現(xiàn)的系統(tǒng)內(nèi)動(dòng)態(tài)的概念。下一章要初步討論最優(yōu)控制。

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參考文獻(xiàn)：

[1]Regelungstechnik B (Zustandsraummethoden) (WS 2019), Prof. Dr.-Ing. Knut Graichen

Lehrstuhl für Regelungstechnik, Friedrich-Alexander-Universit?t Erlangen-Nürnberg

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的c++矩阵作为函数输入变量_现代控制理论线性系统入门(七)输入输出解耦的控制器设计...的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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