理解離散傅立葉變換（三） ------復(fù)數(shù)形式離散傅立葉變換 復(fù)數(shù)形式的離散傅立葉變換非常巧妙地運(yùn)用了復(fù)數(shù)的方法，使得傅立葉變換變換更加自然和簡潔，它并不是只是簡單地運(yùn)用替換的方法來運(yùn)用復(fù)數(shù)，而是完全從復(fù)數(shù)的角度來分析問題，這一點(diǎn)跟實(shí)數(shù)DFT是完全不一樣的。 一、??????????把正余弦函數(shù)表示成復(fù)數(shù)的形式 通過歐拉等式可以把正余弦函數(shù)表示成復(fù)數(shù)的形式： cos( x ) = 1/2 e?^j(-x)?+ 1/2 e^jx sin( x ) = j (1/2 e?^j(-x)?- 1/2 e^jx) 從這個等式可以看出，如果把正余弦函數(shù)表示成復(fù)數(shù)后，它們變成了由正負(fù)頻率組成的正余弦波，相反地，一個由正負(fù)頻率組成的正余弦波，可以通過復(fù)數(shù)的形式來表示。 我們知道，在實(shí)數(shù)傅立葉變換中，它的頻譜是0 ~?π(0 ~ N/2),但無法表示-π~ 0的頻譜，可以預(yù)見，如果把正余弦表示成復(fù)數(shù)形式，則能夠把負(fù)頻率包含進(jìn)來。 二、??????????把變換前后的變量都看成復(fù)數(shù)的形式 復(fù)數(shù)形式傅立葉變換把原始信號x[n]當(dāng)成是一個用復(fù)數(shù)來表示的信號，其中實(shí)數(shù)部分表示原始信號值，虛數(shù)部分為0，變換結(jié)果X[k]也是個復(fù)數(shù)的形式，但這里的虛數(shù)部分是有值的。在這里要用復(fù)數(shù)的觀點(diǎn)來看原始信號，是理解復(fù)數(shù)形式傅立葉變換的關(guān)鍵（如果有學(xué)過復(fù)變函數(shù)則可能更好理解，即把x[n]看成是一個復(fù)數(shù)變量，然后象對待實(shí)數(shù)那樣對這個復(fù)數(shù)變量進(jìn)行相同的變換）。 三、??????????對復(fù)數(shù)進(jìn)行相關(guān)性算法（正向傅立葉變換） 從實(shí)數(shù)傅立葉變換中可以知道，我們可以通過原始信號乘以一個正交函數(shù)形式的信號，然后進(jìn)行求總和，最后就能得到這個原始信號所包含的正交函數(shù)信號的分量?，F(xiàn)在我們的原始信號變成了復(fù)數(shù)，我們要得到的當(dāng)然是復(fù)數(shù)的信號分量，我們是不是可以把它乘以一個復(fù)數(shù)形式的正交函數(shù)呢？答案是肯定的，正余弦函數(shù)都是正交函數(shù)，變成如下形式的復(fù)數(shù)后，仍舊還是正交函數(shù)（這個從正交函數(shù)的定義可以很容易得到證明）： cos x + j sin x, cos x – j sin x，…… 這里我們采用上面的第二個式子進(jìn)行相關(guān)性求和，為什么用第二個式子呢?，我們在后面會知道，正弦函數(shù)在虛數(shù)中變換后得到的是負(fù)的正弦函數(shù)，這里我們再加上一個負(fù)號，使得最后的得到的是正的正弦波，根據(jù)這個于是我們很容易就可以得到了復(fù)數(shù)形式的DFT正向變換等式： 這個式子很容易可以得到歐拉變換式子： 其實(shí)我們是為了表達(dá)上的方便才用到歐拉變換式，在解決問題時我們還是較多地用到正余弦表達(dá)式。 對于上面的等式，我們要清楚如下幾個方面（也是區(qū)別于實(shí)數(shù)DFT的地方）： 1、X[k]、x[n]都是復(fù)數(shù)，但x[n]的虛數(shù)部分都是由0組成的，實(shí)數(shù)部分表示原始信號； 2、k的取值范圍是0 ~ N-1 (也可以表達(dá)成0 ~ 2π)，其中0 ~ N/2（或0 ~?π）是正頻部分，N/2 ~ N-1（π~ 2π）是負(fù)頻部分，由于正余弦函數(shù)的對稱性，所以我們把?–π~ 0表示成π~ 2π，這是出于計算上方便的考慮。 3、其中的j是一個不可分離的組成部分，就象一個等式中的變量一樣，不能隨便去掉，去掉之后意義就完全不一樣了，但我們知道在實(shí)數(shù)DFT中，j只是個符號而已，把j去掉，整個等式的意義不變； 4、下圖是個連續(xù)信號的頻譜，但離散頻譜也是與此類似的，所以不影響我們對問題的分析： 上面的頻譜圖把負(fù)頻率放到了左邊，是為了迎合我們的思維習(xí)慣，但在實(shí)際實(shí)現(xiàn)中我們一般是把它移到正的頻譜后面的。 從上圖可以看出，時域中的正余弦波（用來組成原始信號的正余弦波）在復(fù)數(shù)DFT的頻譜中被分成了正、負(fù)頻率的兩個組成部分，基于此等式中前面的比例系數(shù)是1/N（或1/2π），而不是2/N，這是因為現(xiàn)在把頻譜延伸到了2π,但把正負(fù)兩個頻率相加即又得到了2/N,又還原到了實(shí)數(shù)DFT的形式，這個在后面的描述中可以更清楚地看到。由于復(fù)數(shù)DFT生成的是一個完整的頻譜，原始信號中的每一個點(diǎn)都是由正、負(fù)兩個頻率組合而成的，所以頻譜中每一個點(diǎn)的帶寬是一樣的，都是1/N，相對實(shí)數(shù)DFT，兩端帶寬比其它點(diǎn)的帶寬少了一半； 復(fù)數(shù)DFT的頻譜特征具有周期性：-N/2?~ 0與N/2 ~ N-1是一樣的，實(shí)域頻譜呈偶對稱性（表示余弦波頻譜），虛域頻譜呈奇對稱性（表示正弦波頻譜）。 四、??????????逆向傅立葉變換 假設(shè)我們已經(jīng)得到了復(fù)數(shù)形式的頻譜X[k]，現(xiàn)在要把它還原到復(fù)數(shù)形式的原始信號x[n]，當(dāng)然應(yīng)該是把X[k]乘以一個復(fù)數(shù)，然后再進(jìn)行求和，最后得到原始信號x[n]，這個跟X[k]相乘的復(fù)數(shù)首先讓我們想到的應(yīng)該是上面進(jìn)行相關(guān)性計算的復(fù)數(shù)：cos(2πkn/N) – j sin(2πkn/N)，但其中的負(fù)號其實(shí)是為了使得進(jìn)行逆向傅立葉變換時把正弦函數(shù)變?yōu)檎姆?#xff0c;因為虛數(shù)j的運(yùn)算特殊性，使得原來應(yīng)該是正的正弦函數(shù)變?yōu)榱素?fù)的正弦函數(shù)（我們從后面的推導(dǎo)會看到這一點(diǎn)），所以這里的負(fù)號只是為了糾正符號的作用，在進(jìn)行逆向DFT時，我們可以把負(fù)號去掉，于是我們便得到了這樣的逆向DFT變換等式：

x[n] =?X[k] (cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N))

?

?

我們現(xiàn)在來分析這個式子，會發(fā)現(xiàn)這個式其實(shí)跟實(shí)數(shù)傅立葉變換是可以得到一樣結(jié)果的。我們先把X[k]變換一下：

?

?

X[k] = Re X[k] + j Im X[k]

?

?

這樣我們就可以對x[n]再次進(jìn)行變換，如：

?

x[n] =?(Re X[k] + j Im X[k]) (cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N))

????=?(?Re X[k] cos(2πkn/N) +?j Im X[k]?cos(2πkn/N) +

???????????j?Re X[k]?sin(2πkn/N) -??Im X[k]?sin(2πkn/N)?)

???????=?(?Re X[k]?(cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N))?+????---------------------(1)

Im X[k]?(?-?sin(2πkn/N) +?j?cos(2πkn/N)))??---------------(2) 這時我們就把原來的等式分成了兩個部分，第一個部分是跟實(shí)域中的頻譜相乘，第二個部分是跟虛域中的頻譜相乘，根據(jù)頻譜圖我們可以知道，Re X[k]是個偶對稱的變量，Im X[k]是個奇對稱的變量，即 Re X[k] = Re X[- k] Im X[k] = - Im X[-k] 但k的范圍是0 ~ N-1，0~N/2表示正頻率，N/2~N-1表示負(fù)頻率，為了表達(dá)方便我們把N/2~N-1用-k來表示，這樣在從0到N-1的求和過程中對于(1)和(2)式分別有N/2對的k和-k的和，對于（1）式有： Re X[k]?(cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N)) +?Re X[- k]?(cos( -?2πkn/N) + j sin( -2πkn/N)) 根據(jù)偶對稱性和三角函數(shù)的性質(zhì)，把上式化簡得到： Re X[k]?(cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N)) +?Re X[ k]?(cos(?2πkn/N) - j sin(?2πkn/N)) 這個式子最后的結(jié)果是： 2?Re X[ k] cos(2πkn/N) 再考慮到求Re X[ k]等式中有個比例系數(shù)1/N，把1/N乘以2，這樣的結(jié)果不就是跟實(shí)數(shù)DFT中的式子一樣了嗎？ 對于(2)式，用同樣的方法，我們也可以得到這樣的結(jié)果： -2 Im X[k]?sin(2πkn/N 注意上式前面多了個負(fù)符號，這是由于虛數(shù)變換的特殊性造成的，當(dāng)然我們肯定不能把負(fù)符號的正弦函數(shù)跟余弦來相加，還好，我們前面是用cos(2πkn/N) – j sin(2πkn/N)進(jìn)行相關(guān)性計算，得到的Im X[k]中有個負(fù)的符號，這樣最后的結(jié)果中正弦函數(shù)就沒有負(fù)的符號了，這就是為什么在進(jìn)行相關(guān)性計算時虛數(shù)部分要用到負(fù)符號的原因（我覺得這也許是復(fù)數(shù)形式DFT美中不足的地方，讓人有一種拼湊的感覺）。 從上面的分析中可以看出，實(shí)數(shù)傅立葉變換跟復(fù)數(shù)傅立葉變換，在進(jìn)行逆變換時得到的結(jié)果是一樣的，只不過是殊途同歸吧。 附: WORD文檔下載地址:http://download.csdn.net/source/444234

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總結(jié)

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