題目

一個機器人位于一個 m x n 網格的左上角 （起始點在下圖中標記為“Start” ）。

機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為“Finish”）。

問總共有多少條不同的路徑？

例如，上圖是一個7 x 3 的網格。有多少可能的路徑？

說明：m 和 n 的值均不超過 100。

示例 1:

輸入: m = 3, n = 2 輸出: 3 解釋: 從左上角開始，總共有 3 條路徑可以到達右下角。 1. 向右 -> 向右 -> 向下 2. 向右 -> 向下 -> 向右 3. 向下 -> 向右 -> 向右 復制代碼

示例 2:

輸入: m = 7, n = 3 輸出: 28 復制代碼

題解

這道題拿到題目我覺得大家的第一反應都是這應該是遞歸的題目,因為我們可以轉化為子問題，但是這樣暴力肯定會超時,就不用嘗試了。其實在該題遞歸的方法就是從上面到下面不斷的去嘗試,如果我們能記住之前的結果,就對我們下一步有幫助,所以想到了DP的方法。 格子中的數字代表當前的方法.

初始狀態

當前這個狀態只和左邊和上邊的格子有關系.

依次求解

于是我們可以得到狀態轉移方程：

ways[i][j] = ways[i-1][j] + ways[i][j-1]; 復制代碼

java代碼

public class Solution {public int uniquePaths(int m, int n) {int[][] ways = new int[m][n];for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (i == 0 || j == 0) ways[i][j] = 1;else ways[i][j] = ways[i-1][j] + ways[i][j-1];}}return ways[m-1][n-1];} } 復制代碼

優化

上面圖3我們在求解的時候,我們是一行一行求解的,實際上我們只需要記錄遍歷到(i, j)這個位置的時候當前行有幾種路徑,如果遍歷到(i, m-1)的時候,替換掉這一行對應列的路徑即可，于是狀態轉移方程編程: res[j] = res[j] + res[j-1]

class Solution {public int uniquePaths(int m, int n) {if (m <= 0 || n <= 0) {return 0;}int[] res = new int[n];res[0] = 1;for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {res[j] += res[j - 1];System.out.println("i=" + i + "_" + "j=" + j + ":" + Arrays.toString(res));}}return res[n - 1];} } 復制代碼

有的同學可能還是不理解,我在代碼里面打印了一些信息方便理解：

i=0_j=1:[1, 1, 0, 0, 0, 0, 0] i=0_j=2:[1, 1, 1, 0, 0, 0, 0] i=0_j=3:[1, 1, 1, 1, 0, 0, 0] i=0_j=4:[1, 1, 1, 1, 1, 0, 0] i=0_j=5:[1, 1, 1, 1, 1, 1, 0] i=0_j=6:[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] //只記錄到這一行的信息 i=1_j=1:[1, 2, 1, 1, 1, 1, 1] i=1_j=2:[1, 2, 3, 1, 1, 1, 1] i=1_j=3:[1, 2, 3, 4, 1, 1, 1] i=1_j=4:[1, 2, 3, 4, 5, 1, 1] i=1_j=5:[1, 2, 3, 4, 5, 6, 1] i=1_j=6:[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] //只記錄到這一行的信息 i=2_j=1:[1, 3, 3, 4, 5, 6, 7] i=2_j=2:[1, 3, 6, 4, 5, 6, 7] i=2_j=3:[1, 3, 6, 10, 5, 6, 7] i=2_j=4:[1, 3, 6, 10, 15, 6, 7] i=2_j=5:[1, 3, 6, 10, 15, 21, 7] i=2_j=6:[1, 3, 6, 10, 15, 21, 28] //只記錄到這一行的信息 i=3_j=1:[1, 4, 6, 10, 15, 21, 28] i=3_j=2:[1, 4, 10, 10, 15, 21, 28] i=3_j=3:[1, 4, 10, 20, 15, 21, 28] i=3_j=4:[1, 4, 10, 20, 35, 21, 28] i=3_j=5:[1, 4, 10, 20, 35, 56, 28] i=3_j=6:[1, 4, 10, 20, 35, 56, 84] //只記錄到這一行的信息 復制代碼

Math

這個題其實可以用排列組合的方式來做。這其實是最開始想到的方法。 以模擬的[4, 7]的例子,每一條路徑：

向右的肯定有6步;

向左的肯定有3步; 問題即為:c(9,3) = (9 * 8 * 7) / (1 * 2 * 3) = 84

組合數公式：c(m,n) = m! / (n! * (m - n)!)

java代碼

java直接套用公式會越界,下面結果我用long存儲:

1!=1 2!=2 3!=6 4!=24 5!=120 6!=720 7!=5040 8!=40320 9!=362880 10!=3628800 11!=39916800 12!=479001600 13!=6227020800 14!=87178291200 15!=1307674368000 16!=20922789888000 17!=355687428096000 18!=6402373705728000 19!=121645100408832000 20!=2432902008176640000 21!=-4249290049419214848 22!=-1250660718674968576 23!=8128291617894825984 24!=-7835185981329244160 復制代碼

需要稍微化簡一下,化簡的過程就是我求解c(9,3)的第二步驟。

class Solution {public int uniquePaths(int m, int n) {double dom = 1;double dedom = 1;int small = m < n ? m - 1 : n - 1;int big = m < n ? n - 1 : m - 1;for (int i = 1; i <= small; i++) {dedom *= i;dom *= small + big + 1 - i;}return (int) (dom / dedom);} } 復制代碼

python代碼

python代碼就比較兇殘了,一行代碼搞定:

class Solution:def uniquePaths(self, m, n):return int(math.factorial(m + n - 2) / math.factorial(m -1) / math.factorial(n-1)) 復制代碼

貼一下DP版本的代碼

class Solution:def uniquePaths(self, m, n):""":type m: int:type n: int:rtype: int"""if m <= 0 or n <= 0:return 0res = [0 for _ in range(0, n)]res[0] = 1for i in range(0, m):for j in range(1, n):res[j] += res[j-1]return res[n-1] 復制代碼

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總結

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