假使我們是一個(gè)電影供應(yīng)商，我們有 5 部電影和 4 個(gè)用戶，我們要求用戶為電影打分。

　　前三部電影是愛情片，后兩部則是動(dòng)作片，我們可以看出Alice 和Bob 似乎更傾向與愛
情片， 而 Carol 和 Dave 似乎更傾向與動(dòng)作片。并且沒有一個(gè)用戶給所有的電影都打過分。
我們希望構(gòu)建一個(gè)算法來預(yù)測(cè)他們每個(gè)人可能會(huì)給他們沒看過的電影打多少分，并以此作為
推薦的依據(jù)。

下面引入一些標(biāo)記：
　　?? 代表用戶的數(shù)量
　　?? 代表電影的數(shù)量
　　?(?, ?) 如果用戶 ? 給電影 ? 評(píng)過分則 ?(?, ?) = 1
　　?(?,?) 代表用戶 ? 給電影 ? 的評(píng)分
　　??代表用戶 ? 評(píng)過分的電影的總數(shù)

　　在一個(gè)基于內(nèi)容的推薦系統(tǒng)算法中，我們假設(shè)對(duì)于我們希望推薦的東西有一些數(shù)據(jù)，這
些數(shù)據(jù)是有關(guān)這些東西的特征。假設(shè)每部電影都有兩個(gè)特征，如?1代表電影的浪漫程度，?2代表電影的動(dòng)作程度。

則每部電影都有一個(gè)特征向量，如?(1)是第一部電影的特征向量為[0.9，0]。

　　下面我們要基于這些特征來構(gòu)建一個(gè)推薦系統(tǒng)算法。 假設(shè)我們采用線性回歸模型，我
們可以針對(duì)每一個(gè)用戶都訓(xùn)練一個(gè)線性回歸模型，如?(1)是第一個(gè)用戶的模型的參數(shù)。 于
是，我們有：

?(?)用戶 ? 的參數(shù)向量
?(?)電影 ? 的特征向量
對(duì)于用戶 ? 和電影 ?，我們預(yù)測(cè)評(píng)分為：(?(?))??(?)

代價(jià)函數(shù)：
針對(duì)用戶 ?，該線性回歸模型的代價(jià)為預(yù)測(cè)誤差的平方和，加上正則化項(xiàng)：

其中 ?: ?(?, ?)表示我們只計(jì)算那些用戶 ? 評(píng)過分的電影。在一般的線性回歸模型中，誤
差項(xiàng)和正則項(xiàng)應(yīng)該都是乘以1/2?，在這里我們將?去掉。并且我們不對(duì)方差項(xiàng)?0進(jìn)行正則
化處理。

　　上面的代價(jià)函數(shù)只是針對(duì)一個(gè)用戶的，為了學(xué)習(xí)所有用戶，我們將所有用戶的代價(jià)函數(shù)
求和：

如果我們要用梯度下降法來求解最優(yōu)解，我們計(jì)算代價(jià)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)后得到梯度下降的
更新公式為：

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總結(jié)

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