第六章 幾何運(yùn)算

目錄

引言

灰度級(jí)插值

空間變換

3.1 仿射變換

3.2 透視變換

幾何校正

圖象卷繞（Image Warping）

圖象變形（Image Morphing）

作業(yè)

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1.引言

幾何運(yùn)算與點(diǎn)運(yùn)算不同，它可改變圖象中物體（象素）之間的空間關(guān)系。這種運(yùn)算可以看成將各象素在圖象內(nèi)移動(dòng)的過(guò)程。其定義為：

g(x,y)=f(x',y')=f[a(x,y),b(x,y)] 其中，f(x,y)表示輸入圖象，g(x,y)表示輸出圖象，a(x,y)和b(x,y)表示空間變換，若它們是連續(xù)的，則將保持圖象中的連通關(guān)系。

幾何運(yùn)算中灰度級(jí)插值是必不可少的組成部分，因?yàn)閳D象一般用整數(shù)位置處的象素來(lái)定義，而幾何變換中，g(x,y)的灰度值一般由處在非整數(shù)坐標(biāo)上的f(x,y)的值來(lái)確定，即g中的一個(gè)象素一般對(duì)應(yīng)于f中的幾個(gè)象素之間的位置。反過(guò)來(lái)看也是一樣，即f中的一個(gè)象素往往被映射到g中的幾個(gè)象素之間的位置。

實(shí)現(xiàn)幾何運(yùn)算有兩種方法，其一為前向映射法，即：將輸入象素的灰度一個(gè)個(gè)地轉(zhuǎn)移到輸出圖象中，如果一個(gè)輸入象素被映射到四個(gè)輸出象素之間的位置，則其灰度值就按插值法在四個(gè)輸出象素之間進(jìn)行分配；其二為后向映射法（象素填充法），這時(shí)將輸出象素逐個(gè)地映射回輸入圖象中，若輸出象素被映射到四個(gè)輸入象素之間的位置，則其灰度由它們的插值來(lái)確定。在實(shí)際中，通常采用后向映射法。

幾何變換常用于攝象機(jī)的幾何校正過(guò)程，這對(duì)于利用圖象進(jìn)行幾何測(cè)量的工作是十分重要的。

仿射變換（Affine Transformation）和圖象卷繞（Image Warping）是兩類常見(jiàn)的幾何運(yùn)算。前者屬于射影幾何變換，多用于圖象配準(zhǔn)（ImageRegistration）作為比較或匹配的預(yù)處理過(guò)程；后者用控制點(diǎn)及插值過(guò)程來(lái)定義，將一幅圖象逐漸變化到另一幅圖象的圖象變形（Morphing）過(guò)程是其典型的應(yīng)用，多見(jiàn)于影視特技及廣告的制作。

2.灰度級(jí)插值

最簡(jiǎn)單的插值方法是最近鄰插值，即選擇離它所映射到的位置最近的輸入象素的灰度值為插值結(jié)果。復(fù)雜一點(diǎn)的方法是雙線性插值，如下圖所示：

假設(shè)輸出圖象的寬度為W，高度為H，輸入圖象的寬度為w高度為h，要將輸入圖象的尺度拉伸或壓縮變換至輸出圖象的尺度。按照線形插值的方法，將輸入圖象的寬度方向分為W等份，高度方向分為H等份，那么輸出圖象中任意一點(diǎn)（x，y）的灰度值就應(yīng)該由輸入圖象中四點(diǎn)（a，b）、（a+1，b）、（a，b+1）和（a+1，b+1）的灰度值來(lái)確定（如圖1.）。其中a和b的值分別為：

?
?

?

（x，y）點(diǎn)的灰度值f(x, y)應(yīng)為：

?
?

?

其中

?
?

　

此外，還有多種其它插值方法，如三次樣條等。圖象處理軟件一般都提供若干種插值方法供用戶自己選擇。

3.空間變換

空間變換包括可用數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)的簡(jiǎn)單變換（如：平移、拉伸等仿射變換）和依賴實(shí)際圖象而不易用函數(shù)形式描述的復(fù)雜變換（如對(duì)存在幾何畸變的攝象機(jī)所拍攝的圖象進(jìn)行校正，需要實(shí)際拍攝柵格圖象，根據(jù)柵格的實(shí)際扭曲數(shù)據(jù)建立空間變換；再如通過(guò)指定圖象中一些控制點(diǎn)的位移及插值方法來(lái)描述的空間變換）。

3.1　仿射變換（affine transformation）

?
?

其中 A 是變形矩陣，b是平移矢量。在2維空間，A可以按如下的四個(gè)步驟分解：尺度、伸縮、扭曲、旋轉(zhuǎn)

（1）尺度

?
?

（2）伸縮

?
?

（3）扭曲

?
?

（4）旋轉(zhuǎn)

?
?

即：

圖2 人臉圖象和掩膜圖象

3.2 透視變換(Perspective Transformation)

透視變換是中心投影的射影變換，在用非齊次射影坐標(biāo)表達(dá)時(shí)是平面的分式線性變換，具有如下的形式：

?
?

（參見(jiàn)：丘維生，解析幾何，北京大學(xué)出版社，1996。）

透視變換常用于圖象的校正，例如在移動(dòng)機(jī)器人視覺(jué)導(dǎo)航研究中，由于攝象機(jī)與地面之間有一傾斜角，而不是直接垂直朝下（正投影），有時(shí)希望將圖象校正成正投影的形式，就需要利用透視變換。

　重投影變換的應(yīng)用實(shí)例（透視變形的校正）

（根據(jù)孫健同學(xué)的碩士論文摘錄改編，祥見(jiàn)：孫健，面向室外移動(dòng)機(jī)器人THMR-III導(dǎo)航的路標(biāo)識(shí)別算法的研究，碩士學(xué)位論文，清華大學(xué)計(jì)算機(jī)系，1997.5）

如果將攝取到的圖象映射到平行于地面的平面上，其效果相當(dāng)于攝影機(jī)把姿態(tài)改變?yōu)榇怪庇诘孛嫦蛳驴?#xff0c;就會(huì)在這個(gè)新的平面上得到物體真實(shí)形狀。由于這種映射相當(dāng)于將原圖象重新投影到另一個(gè)成象面上，故稱之為重投影變換，并將映射后得到的圖象稱為重投影圖象。

圖3. 重投影示意圖

在兩個(gè)坐標(biāo)平面之間的投影變換的數(shù)學(xué)形式如下：

設(shè)（x, y）是坐標(biāo)平面XOY中的一點(diǎn)，(x’,y’)是(x,y)在坐標(biāo)平面X’OY’中對(duì)應(yīng)的象點(diǎn)，則有

其中a,b,c,d,e,f,u,v都是常量。

確定兩個(gè)平面之間的投影變換只需要在兩個(gè)平面上找到四對(duì)“物點(diǎn)和象點(diǎn)”，有這四對(duì)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系就可以確定a,b,c,d,e,f,u,v。具體而言，用一個(gè)規(guī)范化坐標(biāo)系（平面）作為重投影平面，首先建立從規(guī)范化坐標(biāo)（NormalCoordinate）到原始圖象坐標(biāo)（Oringinal Coordinate）的變換，其形式為

在地面上取定一個(gè)矩形（不一定是正方形），要求它的邊平行或垂直于車體軸線，這樣的矩形在原始圖象中顯示為一個(gè)等腰梯形，如圖4.所示。

圖4. 規(guī)范化坐標(biāo)系和原始圖象坐標(biāo)系

設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁,y₁），C點(diǎn)坐標(biāo)為(x₂,y₂)，則B、D的坐標(biāo)分別是（φ-x₁,y₁）和(φ-x₂,y₂)。經(jīng)過(guò)投影，ABCD四個(gè)點(diǎn)依此與規(guī)范化坐標(biāo)系中的(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)四個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。把此對(duì)應(yīng)關(guān)系代入上式，得

　

　

可以求得如下的各待定常數(shù)：

以上變換的逆變換OrgToNormal的形式是

把四對(duì)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系代入上式，得到待定系數(shù)的計(jì)算方法為：

　其中

公式中只需確定（x₁,y₁）和(x₂,y₂)，確定這幾個(gè)參數(shù)的方法如圖5.所示：

圖5. 幾何關(guān)系參數(shù)示意圖

（注：“重投影變換”源于：朱志剛，林學(xué)閆，“重投影變換在智能移動(dòng)機(jī)器人視覺(jué)系統(tǒng)的應(yīng)用”，模式識(shí)別與人工智能，1990,Vol.5,No.2）

4.幾何校正

　幾何校正通過(guò)由已知的控制點(diǎn)（柵格）建立起來(lái)的幾何變換（.\download_IPCVPR\GeometricsTransformation\GeometricTransformations.htm）進(jìn)行。

　

左圖：走廊的原圖象；中圖：透視變換將圖象中的地磚校正成正方形；右圖：透視變換將門(mén)的四角（原圖最右側(cè)的門(mén)，有把手的門(mén)）校正成矩形。(圖片來(lái)源：Andrew Zisserman,Robotics Research Group, University ofOxford, http://www.dai.ed.ac.uk/CVonline/LOCAL_COPIES/EPSRC_SSAZ/node10.html)

5.圖象卷繞（Image Warping）

　圖象卷繞是通過(guò)指定一系列控制點(diǎn)的位移來(lái)定義空間變換的圖象變形處理。非控制點(diǎn)的位移根據(jù)控制點(diǎn)進(jìn)行插值來(lái)確定。有時(shí)利用多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)擬合控制點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這時(shí)稱為多項(xiàng)式卷繞（Polynomial Warping）。一般情況下，由控制點(diǎn)將圖象分成許多多變形區(qū)域，對(duì)每個(gè)變形區(qū)域使用雙線性插值函數(shù)來(lái)填充非控制點(diǎn)。

　 =>

6.圖象變形（Image Morphing）

　變形是使圖象中的一個(gè)物體逐漸變形為另外一個(gè)物體的過(guò)程。從一起始圖象出發(fā)，利用漸隱(dissolve)技術(shù)，使起始圖象逐漸“淡出(fadeout)”，而目標(biāo)圖象則逐漸“淡入(fade in)”，同時(shí)以對(duì)應(yīng)物體為轉(zhuǎn)換控制對(duì)象，通過(guò)選擇控制點(diǎn)及控制線來(lái)建立插值過(guò)程，讓物體上的點(diǎn)從它們的起始位置逐漸移向?qū)?yīng)的終止位置。

　

演示播放（..\Demos\chapter06\morph\ahzmorph.avi）

作業(yè)

使用UleadMorph應(yīng)用，選擇控制點(diǎn)或控制線及網(wǎng)格，觀察圖象變形，說(shuō)明原因。

編制實(shí)現(xiàn)透視及仿射變換的程序，通過(guò)交互輸入?yún)?shù)觀察效果。

有兩幅人像攝影照片（例如，一幅是明星的劇照，另一幅是你自己的照片），試設(shè)計(jì)一個(gè)程序，通過(guò)少量的交互選擇若干重要的控制點(diǎn)，通過(guò)圖象卷繞將其中一幅照片中的人臉部分用另一個(gè)人的臉部替換

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清華大學(xué)計(jì)算機(jī)系 艾海舟

最近修改時(shí)間：2001年7月18日

出處：http://media.cs.tsinghua.edu.cn/~ahz/digitalimageprocess/CourseImageProcess.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数字图像处理：第六章 几何运算的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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