題目：定義Fibonacci數(shù)列如下：

??????? /??0??????????????????????n=0
f(n)= ?????1??????????????????????n=1
??????? \??f(n-1)+f(n-2)??????????n=2

輸入n，用最快的方法求該數(shù)列的第n項。

分析：在很多C語言教科書中講到遞歸函數(shù)的時候，都會用Fibonacci作為例子。因此很多程序員對這道題的遞歸解法非常熟悉，看到題目就能寫出如下的遞歸求解的代碼。

/// // Calculate the nth item of Fibonacci Series recursively /// long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n) {int result[2] = {0, 1};if(n < 2)return result[n];return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2); }

但是，教科書上反復(fù)用這個題目來講解遞歸函數(shù)，并不能說明遞歸解法最適合這道題目。我們以求解f(10)作為例子來分析遞歸求解的過程。要求得f(10)，需要求得f(9)和f(8)。同樣，要求得f(9)，要先求得f(8)和f(7)……我們用樹形結(jié)構(gòu)來表示這種依賴關(guān)系

??????????????????f(10)
???????????????/????????\
????????????f(9)?????????f(8)
????????? /?????\???????/????\
????? ?f(8)???? f(7)??f(7)???f(6)
????? / ??\?????/? ?\?
?? f(7) ?f(6)??f(6) f(5)

我們不難發(fā)現(xiàn)在這棵樹中有很多結(jié)點會重復(fù)的，而且重復(fù)的結(jié)點數(shù)會隨著n的增大而急劇增加。這意味這計算量會隨著n的增大而急劇增大。事實上，用遞歸方法計算的時間復(fù)雜度是以n的指數(shù)的方式遞增的。大家可以求Fibonacci的第100項試試，感受一下這樣遞歸會慢到什么程度。在我的機器上，連續(xù)運行了一個多小時也沒有出來結(jié)果。

其實改進的方法并不復(fù)雜。上述方法之所以慢是因為重復(fù)的計算太多，只要避免重復(fù)計算就行了。比如我們可以把已經(jīng)得到的數(shù)列中間項保存起來，如果下次需要計算的時候我們先查找一下，如果前面已經(jīng)計算過了就不用再次計算了。

更簡單的辦法是從下往上計算，首先根據(jù)f(0)和f(1)算出f(2)，在根據(jù)f(1)和f(2)算出f(3)……依此類推就可以算出第n項了。很容易理解，這種思路的時間復(fù)雜度是O(n)。

/// // Calculate the nth item of Fibonacci Series iteratively /// long long Fibonacci_Solution2(unsigned n) {int result[2] = {0, 1};if(n < 2)return result[n];long long fibNMinusOne = 1;long long fibNMinusTwo = 0;long long fibN = 0;for(unsigned int i = 2; i <= n; ++ i){fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;fibNMinusTwo = fibNMinusOne;fibNMinusOne = fibN;}return fibN; }

這還不是最快的方法。下面介紹一種時間復(fù)雜度是O(logn)的方法。在介紹這種方法之前，先介紹一個數(shù)學(xué)公式：

{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}^n-1

(注：{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一個矩陣。在矩陣中第一行第一列是f(n+1)，第一行第二列是f(n)，第二行第一列是f(n)，第二行第二列是f(n-1)。)

有了這個公式，要求得f(n)，我們只需要求得矩陣{1, 1, 1,0}的n-1次方，因為矩陣{1, 1, 1,0}的n-1次方的結(jié)果的第一行第一列就是f(n)。這個數(shù)學(xué)公式用數(shù)學(xué)歸納法不難證明。感興趣的朋友不妨自己證明一下。

現(xiàn)在的問題轉(zhuǎn)換為求矩陣{1, 1, 1, 0}的乘方。如果簡單第從0開始循環(huán)，n次方將需要n次運算，并不比前面的方法要快。但我們可以考慮乘方的如下性質(zhì)：

??????? /? a^n/2*a^n/2?????????????????? ?? n為偶數(shù)時
aⁿ=
??????? \? a(^n-1)/2*a^(n-1)/2?????? ?????n為奇數(shù)時

要求得n次方，我們先求得n/2次方，再把n/2的結(jié)果平方一下。如果把求n次方的問題看成一個大問題，把求n/2看成一個較小的問題。這種把大問題分解成一個或多個小問題的思路我們稱之為分治法。這樣求n次方就只需要logn次運算了。

實現(xiàn)這種方式時，首先需要定義一個2×2的矩陣，并且定義好矩陣的乘法以及乘方運算。當(dāng)這些運算定義好了之后，剩下的事情就變得非常簡單。完整的實現(xiàn)代碼如下所示。

#include <cassert>/// // A 2 by 2 matrix /// struct Matrix2By2 {Matrix2By2(long long m00 = 0, long long m01 = 0, long long m10 = 0, long long m11 = 0):m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) {}long long m_00;long long m_01;long long m_10;long long m_11; };/// // Multiply two matrices // Input: matrix1 - the first matrix // matrix2 - the second matrix //Output: the production of two matrices /// Matrix2By2 MatrixMultiply (const Matrix2By2& matrix1, const Matrix2By2& matrix2 ) {return Matrix2By2(matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11); }/// // The nth power of matrix // 1 1 // 1 0 /// Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n) {assert(n > 0);Matrix2By2 matrix;if(n == 1){matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);}else if(n % 2 == 0){matrix = MatrixPower(n / 2);matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);}else if(n % 2 == 1){matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));}return matrix; }/// // Calculate the nth item of Fibonacci Series using devide and conquer /// long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n) {int result[2] = {0, 1};if(n < 2)return result[n];Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);return PowerNMinus2.m_00; }

本文已經(jīng)收錄到《劍指Offer——名企面試官精講典型編程題》一書中，有改動。歡迎關(guān)注。

本題已被九度Online Judge系統(tǒng)收錄，歡迎讀者移步到http://ac.jobdu.com/hhtproblems.php在線測試自己的代碼。

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總結(jié)

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