題目：輸入一個整數n，求從1到n這n個整數的十進制表示中1出現的次數。

例如輸入12，從1到12這些整數中包含1?的數字有1，10，11和12，1一共出現了5次。

分析：這是一道廣為流傳的google面試題。用最直觀的方法求解并不是很難，但遺憾的是效率不是很高；而要得出一個效率較高的算法，需要比較強的分析能力，并不是件很容易的事情。當然，google的面試題中簡單的也沒有幾道。

首先我們來看最直觀的方法，分別求得1到n中每個整數中1出現的次數。而求一個整數的十進制表示中1出現的次數，就和本面試題系列的第22題很相像了。我們每次判斷整數的個位數字是不是1。如果這個數字大于10，除以10之后再判斷個位數字是不是1。基于這個思路，不難寫出如下的代碼：

int NumberOf1(unsigned int n);/ // Find the number of 1 in the integers between 1 and n // Input: n - an integer // Output: the number of 1 in the integers between 1 and n / int NumberOf1BeforeBetween1AndN_Solution1(unsigned int n) {int number = 0;// Find the number of 1 in each integer between 1 and nfor(unsigned int i = 1; i <= n; ++ i)number += NumberOf1(i);return number; }/ // Find the number of 1 in an integer with radix 10 // Input: n - an integer // Output: the number of 1 in n with radix / int NumberOf1(unsigned int n) {int number = 0;while(n){if(n % 10 == 1)number ++;n = n / 10;}return number; }

這個思路有一個非常明顯的缺點就是每個數字都要計算1在該數字中出現的次數，因此時間復雜度是O(n)。當輸入的n非常大的時候，需要大量的計算，運算效率很低。我們試著找出一些規律，來避免不必要的計算。

我們用一個稍微大一點的數字21345作為例子來分析。我們把從1到21345的所有數字分成兩段，即1-1235和1346-21345。

先來看1346-21345中1出現的次數。1的出現分為兩種情況：一種情況是1出現在最高位（萬位）。從1到21345的數字中，1出現在10000-19999這10000個數字的萬位中，一共出現了10000（10⁴）次；另外一種情況是1出現在除了最高位之外的其他位中。例子中1346-21345，這20000個數字中后面四位中1出現的次數是2000次（2*10³，其中2的第一位的數值，10³是因為數字的后四位數字其中一位為1，其余的三位數字可以在0到9這10個數字任意選擇，由排列組合可以得出總次數是2*10³）。

至于從1到1345的所有數字中1出現的次數，我們就可以用遞歸地求得了。這也是我們為什么要把1-21345分為1-1235和1346-21345兩段的原因。因為把21345的最高位去掉就得到1345，便于我們采用遞歸的思路。

分析到這里還有一種特殊情況需要注意：前面我們舉例子是最高位是一個比1大的數字，此時最高位1出現的次數10⁴（對五位數而言）。但如果最高位是1呢？比如輸入12345，從10000到12345這些數字中，1在萬位出現的次數就不是10⁴次，而是2346次了，也就是除去最高位數字之后剩下的數字再加上1。

基于前面的分析，我們可以寫出以下的代碼。在參考代碼中，為了編程方便，我把數字轉換成字符串了。

#include "string.h" #include "stdlib.h"int NumberOf1(const char* strN); int PowerBase10(unsigned int n);/ // Find the number of 1 in an integer with radix 10 // Input: n - an integer // Output: the number of 1 in n with radix / int NumberOf1BeforeBetween1AndN_Solution2(int n) {if(n <= 0)return 0;// convert the integer into a stringchar strN[50];sprintf(strN, "%d", n);return NumberOf1(strN); }/ // Find the number of 1 in an integer with radix 10 // Input: strN - a string, which represents an integer // Output: the number of 1 in n with radix / int NumberOf1(const char* strN) {if(!strN || *strN < '0' || *strN > '9' || *strN == '\0')return 0;int firstDigit = *strN - '0';unsigned int length = static_cast<unsigned int>(strlen(strN));// the integer contains only one digitif(length == 1 && firstDigit == 0)return 0;if(length == 1 && firstDigit > 0)return 1;// suppose the integer is 21345// numFirstDigit is the number of 1 of 10000-19999 due to the first digitint numFirstDigit = 0;// numOtherDigits is the number of 1 01346-21345 due to all digits// except the first oneint numOtherDigits = firstDigit * (length - 1) * PowerBase10(length - 2);// numRecursive is the number of 1 of integer 1345int numRecursive = NumberOf1(strN + 1);// if the first digit is greater than 1, suppose in integer 21345// number of 1 due to the first digit is 10^4. It's 10000-19999if(firstDigit > 1)numFirstDigit = PowerBase10(length - 1);// if the first digit equals to 1, suppose in integer 12345// number of 1 due to the first digit is 2346. It's 10000-12345else if(firstDigit == 1)numFirstDigit = atoi(strN + 1) + 1;return numFirstDigit + numOtherDigits + numRecursive; }/ // Calculate 10^n / int PowerBase10(unsigned int n) {int result = 1;for(unsigned int i = 0; i < n; ++ i)result *= 10;return result; }

本文已經收錄到《劍指Offer——名企面試官精講典型編程題》一書中，有改動，書中的分析講解更加詳細。歡迎關注。

本題已被九度Online Judge系統收錄，歡迎讀者移步到http://ac.jobdu.com/hhtproblems.php在線測試自己的代碼。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的程序员面试题精选100题(25)-在从1到n的正数中1出现的次数[算法]的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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