題目：實現(xiàn)函數(shù)double Power(double base, int exponent)，求base的exponent次方。不需要考慮溢出。

分析：這是一道看起來很簡單的問題。可能有不少的人在看到題目后30秒寫出如下的代碼：

double Power(double base, int exponent) {double result = 1.0;for(int i = 1; i <= exponent; ++i)result *= base;return result; }

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上述代碼至少有一個問題：由于輸入的exponent是個int型的數(shù)值，因此可能為正數(shù)，也可能是負數(shù)。上述代碼只考慮了exponent為正數(shù)的情況。

接下來，我們把代碼改成：

bool g_InvalidInput = false;double Power(double base, int exponent) {g_InvalidInput = false;if(IsZero(base) && exponent < 0){g_InvalidInput = true;return 0.0;}unsigned int unsignedExponent = static_cast<unsigned int>(exponent);if(exponent < 0)unsignedExponent = static_cast<unsigned int>(-exponent);double result = PowerWithUnsignedExponent(base, unsignedExponent);if(exponent < 0)result = 1.0 / result;return result; }double PowerWithUnsignedExponent(double base, unsigned int exponent) {double result = 1.0;for(int i = 1; i <= exponent; ++i)result *= base;return result; }

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上述代碼較之前的代碼有了明顯的改進，主要體現(xiàn)在：首先它考慮了exponent為負數(shù)的情況。其次它還特殊處理了當?shù)讛?shù)base為0而指數(shù)exponent為負數(shù)的情況。如果沒有特殊處理，就有可能出現(xiàn)除數(shù)為0的情況。這里是用一個全局變量來表示無效輸入。關(guān)于不同方法來表示輸入無效的討論，詳見本系列第17題。

最后需要指出的是：由于0^0次方在數(shù)學上是沒有意義的，因此無論是輸入0還是1都是可以接受的，但需要在文檔中說明清楚。

這次的代碼在邏輯上看起來已經(jīng)是很嚴密了，那是不是意味了就沒有進一步改進的空間了呢？接下來我們來討論一下它的性能：

如果我們輸入的指數(shù)exponent為32，按照前面的算法，我們在函數(shù)PowerWithUnsignedExponent中的循環(huán)中至少需要做乘法31次。但我們可以換一種思路考慮：我們要求出一個數(shù)字的32次方，如果我們已經(jīng)知道了它的16次方，那么只要在16次方的基礎(chǔ)上再平方一次就可以了。而16次方是8次方的平方。這樣以此類推，我們求32次方只需要做5次乘法：求平方，在平方的基礎(chǔ)上求4次方，在4次方的基礎(chǔ)上平方求8次方，在8次方的基礎(chǔ)上求16次方，最后在16次方的基礎(chǔ)上求32次方。

32剛好是2的整數(shù)次方。如果不巧輸入的指數(shù)exponent不是2的整數(shù)次方，我們又該怎么辦呢？我們換個數(shù)字6來分析，6就不是2的整數(shù)次方。但我們注意到6是等于2+4，因此我們可以把一個數(shù)的6次方表示為該數(shù)的平方乘以它的4次方。于是，求一個數(shù)的6次方需要3次乘法：第一次求平方，第二次在平方的基礎(chǔ)上求4次方，最后一次把平方的結(jié)果和4次方的結(jié)果相乘。

現(xiàn)在把上面的思路總結(jié)一下：把指數(shù)分解了一個或若干個2的整數(shù)次方。我們可以用連續(xù)平方的方法得到以2的整數(shù)次方為指數(shù)的值，接下來再把每個前面得到的值相乘就得到了最后的結(jié)果。

到目前為止，我們還剩下一個問題：如何將指數(shù)分解為一個或若干個2的整數(shù)次方。我們把指數(shù)表示為二進制數(shù)再來分析。比如6的二進制表示為110，在它的第2位和第3位為1，因此6=2^(2-1)+2^(3-1)?。也就是說只要它的第n位為1，我們就加上2的n-1次方。

最后，我們根據(jù)上面的思路，重寫函數(shù)PowerWithUnsignedExponent：

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double PowerWithUnsignedExponent(double base, unsigned int exponent) {std::bitset<32> bits(exponent);if(bits.none())return 1.0;int numberOf1 = bits.count();double multiplication[32];for(int i = 0; i < 32; ++i){multiplication[i] = 1.0;}// if the i-th bit in exponent is 1,// the i-th number in array multiplication is base ^ (2 ^ n)int count = 0;double power = 1.0;for(int i = 0; i < 32 && count < numberOf1; ++i){if(i == 0)power = base;elsepower = power * power;if(bits.at(i)){multiplication[i] = power;++count;}}power = 1.0;for(int i = 0; i < 32; ++i){if(bits.at(i))power *= multiplication[i];}return power; }

???????在上述代碼中，我們用C++的標準函數(shù)庫中bitset把整數(shù)表示為它的二進制，增大代碼的可讀性。如果exponent的第i位為1，那么在數(shù)組multiplication的第i個數(shù)字中保存以base為底數(shù)，以2的i次方為指數(shù)的值。最后，我們再把所以位為1在數(shù)組中的對應(yīng)的值相乘得到最后的結(jié)果。

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上面的代碼需要我們根據(jù)base的二進制表達的每一位來確定是不是需要做乘法。對二進制的操作很多人都不是很熟悉，因此編碼可能覺得有些難度。我們可以換一種思路考慮：我們要求出一個數(shù)字的32次方，如果我們已經(jīng)知道了它的16次方，那么只要在16次方的基礎(chǔ)上再平方一次就可以了。而16次方是8次方的平方。這樣以此類推，我們求32次方只需要做5次乘法：先求平方，在平方的基礎(chǔ)上求4次方，在4次方的基礎(chǔ)上平方求8次方，在8次方的基礎(chǔ)上求16次方，最后在16次方的基礎(chǔ)上求32次方。

也就是說，我們可以用如下公式求a的n次方：

這個公式很容易就能用遞歸來實現(xiàn)。新的PowerWithUnsignedExponent代碼如下：

double PowerWithUnsignedExponent(double base, unsigned int exponent) {if(exponent == 0)return 1;if(exponent == 1)return base;double result = PowerWithUnsignedExponent(base, exponent >> 1);result *= result;if(exponent & 0x1 == 1)result *= base;return result; }

本文已經(jīng)收錄到《劍指Offer——名企面試官精講典型編程題》一書中，有改動，書中的分析講解更加詳細。歡迎關(guān)注。

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總結(jié)

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