數(shù)學(xué)中最優(yōu)化問題的一般表述是求取 ，使 ，其中 是n維向量， 是 的可行域， 是 上的實值函數(shù)。
凸優(yōu)化 問題是指 是 閉合的凸集 且 是 上的 凸函數(shù) 的最優(yōu)化問題，這兩個條件任一不滿足則該問題即為非凸的最優(yōu)化問題。

其中，是?凸集是指對集合中的任意兩點，有，即任意兩點的連線段都在集合內(nèi)，直觀上就是集合不會像下圖那樣有“凹下去”的部分。至于閉合的凸集，則涉及到閉集的定義，而閉集的定義又基于開集，比較抽象，不贅述，這里可以簡單地認(rèn)為閉合的凸集是指包含有所有邊界點的凸集。

注意：中國大陸數(shù)學(xué)界某些機構(gòu)關(guān)于函數(shù)凹凸性定義和國外的定義是相反的。Convex Function在某些中國大陸的數(shù)學(xué)書中指凹函數(shù)。Concave Function指凸函數(shù)。但在中國大陸涉及經(jīng)濟學(xué)的很多書中，凹凸性的提法和其他國家的提法是一致的，也就是和數(shù)學(xué)教材是反的。舉個例子，同濟大學(xué)高等數(shù)學(xué)教材對函數(shù)的凹凸性定義與本條目相反，本條目的凹凸性是指其上方圖是凹集或凸集，而同濟大學(xué)高等數(shù)學(xué)教材則是指其下方圖是凹集或凸集，兩者定義正好相反。

為什么要求是凸函數(shù)呢？因為如果是下圖這樣的函數(shù)，則無法獲得全局最優(yōu)解。

為什么要求是凸集呢？因為如果可行域不是凸集，也會導(dǎo)致局部最優(yōu)

實際建模中判斷一個最優(yōu)化問題是不是凸優(yōu)化問題一般看以下幾點：

• 目標(biāo)函數(shù)如果不是凸函數(shù)，則不是凸優(yōu)化問題
• 決策變量中包含離散變量（0-1變量或整數(shù)變量），則不是凸優(yōu)化問題
  
• 約束條件寫成時，如果不是凸函數(shù)，則不是凸優(yōu)化問題

之所以要區(qū)分凸優(yōu)化問題和非凸的問題原因在于凸優(yōu)化問題中局部最優(yōu)解同時也是全局最優(yōu)解，這個特性使凸優(yōu)化問題在一定意義上更易于解決，而一般的非凸最優(yōu)化問題相比之下更難解決。

非凸優(yōu)化問題如何轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題的方法：
1）修改目標(biāo)函數(shù)，使之轉(zhuǎn)化為凸函數(shù)
2）拋棄一些約束條件，使新的可行域為凸集并且包含原可行域

from:?http://blog.csdn.net/masibuaa/article/details/17955331

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的凸优化和非凸优化的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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