寫在前面：感謝@夏龍對本文的審閱并提出了寶貴的意見。

接下來聊一聊現(xiàn)在大熱的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。最近這幾年深度學(xué)習(xí)發(fā)展十分迅速，感覺已經(jīng)占據(jù)了整個機(jī)器學(xué)習(xí)的“半壁江山”。各大會議也是被深度學(xué)習(xí)占據(jù)，引領(lǐng)了一波潮流。深度學(xué)習(xí)中目前最火熱的兩大類是卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）和遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN），就從這兩個模型開始聊起。

當(dāng)然，這兩個模型所涉及到概念內(nèi)容實在太多，要寫的東西也比較多，所以為了能把事情講得更清楚，這里從一些基本概念聊起，大神們不要覺得無聊啊……

今天扯的是全連接層，也是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的重要組成部分。關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是怎么發(fā)明出來的這里就不說了。全連接層一般由兩個部分組成，為了后面的公式能夠更加清楚的表述，以下的變量名中上標(biāo)表示所在的層，下標(biāo)表示一個向量或矩陣內(nèi)的行列號：

• 線性部分：主要做線性轉(zhuǎn)換，輸入用X表示，輸出用Z表示
  
• 非線性部分：那當(dāng)然是做非線性變換了，輸入用線性部分的輸出Z表示，輸出用X表示。
  

線性部分

線性部分的運(yùn)算方法基本上就是線性加權(quán)求和的感覺，如果對于一個輸入向量，線性部分的輸出向量是，那么線性部分的參數(shù)就可以想象一個m*n的矩陣W，再加上一個偏置項，于是有：

線性部分做了什么事情呢？簡單來說就是對輸入數(shù)據(jù)做不同角度的分析，得出該角度下對整體輸入數(shù)據(jù)的判斷。

這么說有點抽象，舉一個實際點的例子，就拿CNN的入門case——MNIST舉例。MNIST的例子在此不多說了，它是一個手寫數(shù)字的識別項目，輸入是一張28*28的二值圖，輸出是0-9這是個數(shù)字，這里假設(shè)我們采用完全全連接的模型，那么我們的輸入就是28*28=784個像素點。數(shù)據(jù)顯示到屏幕上大概是這個樣子：

對于我們來說，這個像素點都太過于抽象了，我們無法判斷這些像素點的取值和最終識別的關(guān)系:

他們是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？

很顯然，像素點之間是存在相關(guān)關(guān)系的，這個關(guān)系具體是什么我們后面再說，但存在關(guān)系這件事是板上釘釘?shù)摹Ｋ灾唤o每一個像素點一個權(quán)重是解決不了問題的，我們需要多組權(quán)重。

我們可以

1）在第一組權(quán)重中給第一個像素一個正數(shù)，第二個也是正數(shù)，

2）在第二組權(quán)重中給第一個像素負(fù)數(shù)，而第二個還是正數(shù)……

這樣，我們相當(dāng)于從多個角度對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行分析匯總，得到了多個輸出結(jié)果，也就是對數(shù)據(jù)的多種評價。

非線性部分

非線性部分有一些“套路”函數(shù)，這里只說下其中的一個經(jīng)典函數(shù)——sigmoid。它的函數(shù)形式如下所示：

圖像如下所示：

這個函數(shù)的輸入正是我們上一步線性部分的輸出z，此時z取值范圍在，經(jīng)過了這個函數(shù)就變成了。

那非線性部分為什么要做這個函數(shù)轉(zhuǎn)換呢？以我的粗淺理解，其中的一個作用就是作數(shù)據(jù)的歸一化。不管前面的線性部分做了怎樣的工作，到了非線性這里，所有的數(shù)值將被限制在一個范圍內(nèi)，這樣后面的網(wǎng)絡(luò)層如果要基于前面層的數(shù)據(jù)繼續(xù)計算，這個數(shù)值就相對可控了。不然如果每一層的數(shù)值大小都不一樣，有的范圍在（0，1），有的在（0，10000），做優(yōu)化的時候優(yōu)化步長的設(shè)定就會有麻煩。

另外一個作用，就是打破之前的線性映射關(guān)系。如果全連接層沒有非線性部分，只有線性部分，我們在模型中疊加多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是沒有意義的，我們假設(shè)有一個2層全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其中沒有非線性層，那么對于第一層有：

對于第二層有：

兩式合并，有

所以我們只要令?,?，就可以用一層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表示之前的兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)了。所以非線性層的加入，使得多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的存在有了意義。

另外還有一個比較有名的非線性函數(shù)，叫做雙曲正切函數(shù)。它的函數(shù)形式如下所示：

這個長得很復(fù)雜的函數(shù)的范圍是(-1,1)。可以看出，它的函數(shù)范圍和前面的sigmoid不同，它是有正有負(fù)的，而sigmoid是全為正的。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模樣

實際上對于只有一層且只有一個輸出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，如果它的非線性部分還使用sigmoid函數(shù)，那么它的形式和邏輯斯特回歸（logistic regression）是一樣的。所以可以想象神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型從概念上來看比邏輯斯特回歸要復(fù)雜。那么它的復(fù)雜的樣子是什么樣呢？下面給出一段全連接層的代碼，開始做實驗：

class FC:def __init__(self, in_num, out_num, lr = 0.01):self._in_num = in_numself._out_num = out_numself.w = np.random.randn(out_num, in_num) * 10self.b = np.zeros(out_num)def _sigmoid(self, in_data):return 1 / (1 + np.exp(in_data))def forward(self, in_data):return self._sigmoid(np.dot(self.w, in_data) + self.b)

從代碼上看東西并不多嘛，注意到我們會對參數(shù)中的w進(jìn)行隨機(jī)初始化，有時我們會讓老天隨機(jī)一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)給我們，我們也可以看看隨機(jī)大帝的旨意。

為了方便可視化，這里只做輸入為2，輸出為1的數(shù)據(jù)。好了，先來看1號選手：

x = np.linspace(-10,10,100) y = np.linspace(-10,10,100) X, Y = np.meshgrid(x,y) X_f = X.flatten() Y_f = Y.flatten() data = zip(X_f, Y_f)fc = FC(2, 1) Z1 = np.array([fc.forward(d) for d in data]) Z1 = Z1.reshape((100,100)) draw3D(X, Y, Z1)

定睛一看這其實就是一個標(biāo)準(zhǔn)的Logistic Regression。他的圖像如下所示：

經(jīng)過多次隨機(jī)測試，基本上它都是這個形狀，只不過隨著權(quán)重隨機(jī)的數(shù)值變化，這個“臺階”對旋轉(zhuǎn)到不同的方向，但歸根結(jié)底還是一個臺階。

這也說明1層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是沒有出路的，它本質(zhì)上還是個線性分類器的實力，那么小伙伴還給它加一層吧：

fc = FC(2, 3) fc.w = np.array([[0.4, 0.6],[0.3,0.7],[0.2,0.8]]) fc.b = np.array([0.5,0.5,0.5])fc2 = FC(3, 1) fc2.w = np.array([0.3, 0.2, 0.1]) fc2.b = np.array([0.5])Z1 = np.array([fc.forward(d) for d in data]) Z2 = np.array([fc2.forward(d) for d in Z1]) Z2 = Z2.reshape((100,100))draw3D(X, Y, Z2)

這次我們暫時不用隨機(jī)權(quán)重，而是自己設(shè)置了幾個數(shù)值，可以看出，參數(shù)設(shè)置得很用心。兩層全都是正數(shù)……，那么圖像呢？

看上去比之前的臺階“柔軟”了一些，但歸根結(jié)底還是很像一個臺階……好吧，那我們加點負(fù)權(quán)重，讓我們從兩個方面分析輸入數(shù)據(jù)：

fc = FC(2, 3) fc.w = np.array([[-0.4, 1.6],[-0.3,0.7],[0.2,-0.8]]) fc.b = np.array([-0.5,0.5,0.5])fc2 = FC(3, 1) fc2.w = np.array([-3, 2, -1]) fc2.b = np.array([0.5])Z1 = np.array([fc.forward(d) for d in data]) Z2 = np.array([fc2.forward(d) for d in Z1]) Z2 = Z2.reshape((100,100))draw3D(X, Y, Z2)

趕緊上圖：

加了負(fù)權(quán)重后，看上去終于不那么像臺階了，這時候2層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性能力開始顯現(xiàn)出來了。下面把權(quán)重交給隨機(jī)大帝：

fc = FC(2, 100) fc2 = FC(100, 1)Z1 = np.array([fc.forward(d) for d in data]) Z2 = np.array([fc2.forward(d) for d in Z1]) Z2 = Z2.reshape((100,100)) draw3D(X, Y, Z2,(75,80))

上圖：

這時候的非線性已經(jīng)非常明顯了，不過似乎還有個小問題，就是函數(shù)似乎是以原點做“中心對稱”劃分的？中心對稱的兩個點必然落入不同類別？非線性的不徹底啊……

既然如此那就繼續(xù)加層：

fc = FC(2, 10) fc2 = FC(10, 20) fc3 = FC(20, 40) fc4 = FC(40, 80) fc5 = FC(80, 1)Z1 = np.array([fc.forward(d) for d in data]) Z2 = np.array([fc2.forward(d) for d in Z1]) Z3 = np.array([fc3.forward(d) for d in Z2]) Z4 = np.array([fc4.forward(d) for d in Z3]) Z5 = np.array([fc5.forward(d) for d in Z4]) Z5 = Z5.reshape((100,100)) draw3D(X, Y, Z5,(75,80))

這個圖就有點……

從上面的實驗中可以看出，層數(shù)越高，非線性的“能力”確實越強(qiáng)，腦洞開得也越大。

知道了他的厲害，下回我們將詳細(xì)聊下它的求解方法——反向傳播（Back Propagation）。

文章代碼可以在https://github.com/hsmyy/zhihuzhuanlan/blob/master/FCLayer.ipynb?找到

作者：馮超
鏈接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/21525237
來源：知乎
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總結(jié)

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