曲線上每個點的兩個屬性,傾角 $\theta$ 和曲率$kappa$。

1.傾角:

曲線上有兩點$A、B$很近，$A$點的切線與前進方向 $x$ 的角度$\theta$，就是$A$點的傾角 。

但是，在實際工程中，不容易直接求出曲線每個點的切線和前進方向 $x$ 的角度，但是由于曲線上的兩點$A、B$很近，可以近似用下圖的 $\alpha$ 來代替$A$點的傾角 $\theta$。

就是用兩個點的弦來代替該點的切線，這樣就可以使用 $A、B$ 兩點的坐標【(x,y)都已知】來求解下圖的 $\alpha$，該 $\alpha$ 就是$A$點的近似傾角。

$tan\alpha =\frac{\Delta y}{\Delta x}$，即曲線相鄰兩個點的水平方向距離除以豎直方向距離，就是$\alpha$的正切值。

因為使用 $\alpha$ 來近似 $\theta$ ，所以代碼中就使用 $\alpha$ 的值為傾角 $\theta$ 的值：

$$tan\theta =\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

2.曲率

曲線的曲率（curvature）就是針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉動率，通過微分來定義，表明曲線偏離直線的程度。數學上表明曲線在某一點的彎曲程度的數值。

曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大。曲率的倒數就是曲率半徑。

如上圖，一段曲線上有兩點$A$和$B$。

• $\alpha$為$A$、$B$兩個點的切線的轉角，圖中構成夾角$\alpha$分別為兩個點切線;
• ${\beta }_1$為$A$點切線與$x$方向的夾角；
• ${\beta }_2$為$B$點切線與$x$方向的夾角；
• $O$為曲率圓的中心;

在離散曲線的每個點的切線與$x$方向的夾角$\beta$都是已知的，
那么對于曲線上每一個點，它相對于上一個點的切線轉動角$\alpha$，都可以通過$\alpha ={\beta }_2?{\beta }_1$,求解得到。

并且，可以知道，$\alpha =\angle AOB$，即兩點切線的轉角等于曲率圓的兩點和圓心構成角度。

由于曲線上$A$、$B$ 兩點很近，可把弧$AB$近似等于弦長$AB$,那么
根據曲率公式可得到每一個點的曲率為:
$$k=\frac{\alpha }{AB}$$
因為，弧長公式: $s=\alpha ?R$，得到：$\frac{1}{R}=\frac{\alpha }{s}$，所以也可以簡單理解為，曲率就是半徑的倒數: $k=\frac{1}{R}$。

每一點的曲率kappa需要用到上一個點的傾角與該點自己的傾角，當曲線每個點的xy坐標知曉時，每個點的曲率都可以求解出來。
最后一個點的傾角不能求，就不用求，過濾掉該點。

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3.求曲線上的每個點的曲率的步驟：

假設曲線共有n個點，分為兩個大步驟：

1.先求曲線上每個點的傾角 $\theta$：

• 求曲線第0個點傾角 $\theta$，它由第0個點坐標$(x_0,y_0)$和第1個點的坐標$(x_1,y_1)$根據 $tan\theta =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1?y_0}{x_1?x_0}$近似得到；
• 求曲線第1個點傾角 $\theta$，它由第1個點和第2個點的坐標根據 $tan\theta =\frac{\Delta y}{\Delta x}$近似得到；
• …
• 求曲線第n-1個點傾角 $\theta$（他是求不出來的），它由第n-1個點和第n個點的坐標根據 $tan\theta =\frac{\Delta y}{\Delta x}$近似得到，但是不存在第n個點，所以該點的傾角求不了，就不用求；

2.然后再求曲率kappa：

• 求曲線第1個點的曲率$k_1$：注意，不是第0個點的kappa（因為第0個點的kappa求不了），第一個點的切線轉動角$\alpha$ 由第0個點的傾角${\theta }_0$和第1個點的傾角${\theta }_1$根據 $\alpha ={\theta }_1?{\theta }_0$近似得到，然后再使用$k=\frac{\alpha }{AB}$得出第一個點點的曲率 $k_1$；
• 求曲線第2個點的曲率$k_2$：…
• …
• 求曲線第n-2個點的曲率$k_2$：…

百度百科：曲率
離散點（離散序列）曲率計算那點事

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数学与算法】曲线上各点的曲率kappa和倾角theta的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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