Equidistributed sequence - Wikipedia

????????在數學中，如果落在子區間中的項的比例與該子區間的長度成正比，則稱實數序列 (s1, s2, s3, ...) 是等分布的或均勻分布的。此類序列在丟番圖近似理論中進行了研究，并應用于蒙特卡洛積分。

一、等分布序列定義

????????實數序列（s1，s2，s3，…）平均分布在非退化區間[a， b] ，如果對于任何子區間[c， d ]和區間 [a， b] 我們有

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

（這里，符號 |{s1,...,sn}?∩?[c,?d?]| 表示序列的前 n 個元素中位于 c 和 d 之間的元素的數量。）

????????例如，如果一個序列在 [0, 2] 中均等分布，由于區間 [0.5, 0.9] 占據區間 [0, 2] 長度的 1/5，隨著 n 變大，前 n 的比例介于 0.5 和 0.9 之間的序列成員必須接近 1/5。粗略地說，可以說序列中的每個成員都同樣可能落在其范圍內的任何位置。但是，這并不是說 () 是一個隨機變量序列；相反，它是一個確定的實數序列。

二、差異定義

????????我們將序列 (s1, s2, s3, ...) 相對于區間 [a, b] 的差異 DN 定義為：

? ? ? ? ? ? ??

????????因此，如果差異 DN 趨于零，而 N 趨于無窮大，則序列是等分布的。等分布是一個相當弱的標準來表達一個序列填充片段不留空隙的事實。

三、均勻分布的黎曼積分準則

????????回想一下，如果 f 是一個在區間 [a,?b] 中具有黎曼積分的函數，則它的積分是通過從區間的精細分區中選擇的一組點中對函數 f 進行采樣而獲得的黎曼和的極限。因此，如果某個序列在 [a,?b] 中是等分布的，則期望該序列可用于計算黎曼可積函數的積分。對于等分布序列，這導致以下標準[1]：

????????假設 (s1, s2, s3, ...) 是包含在區間 [a,?b] 中的序列。那么下面的條件是等價的：

• 1 序列均勻分布在 [a,?b] 上。
• 2 對于每個黎曼可積（復值）函數 f : [a,?b] → ?，以下限制成立：

? ? ? ? ? ? ??

????????這個標準導致了蒙特卡洛積分的想法，其中積分是通過在區間內均勻分布的隨機變量序列上對函數進行采樣來計算的。

????????不可能將積分準則推廣到比黎曼可積函數更大的一類函數。例如，如果考慮 Lebesgue 積分并且 f 被認為在 L1 中，那么這個標準就失敗了。作為反例，取 f 為某個等分布序列的指示函數。那么在判據中，左邊總是1，而右邊為零，因為序列是可數的，所以f幾乎處處為零。

四、平均分配模1（在區間[0,1]上的均分布）

????????如果 an 的小數部分的序列用 或? 表示，則實數序列稱為模 1 等分布或模 1 均勻分布, 在區間 [0,?1] 內均勻分布。

????????非負實數? x 的小數部分或小數部分[1] 是超出該數字整數部分的部分。如果后者被定義為不大于 x 的最大整數，稱為 x 的 floor 或?，其小數部分可寫為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

????????對于以傳統位置數字系統（例如二進制或十進制）編寫的正數，其小數部分因此對應于出現在小數點之后的數字。結果是半開區間 [0, 1) 中的實數。

總結

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