一、 二次無理數

????????二次無理數（quadratic irrational）是某些有理數系數的一元二次方程的根。若將所有系數乘以分母的最小公倍數，即可將系數轉換為整數。因此所有二次無理數都可以表示成

其中

• 為整數，
• 是無平方數因數的數
• 不為零。

????????若c為正數，所得的是實二次無理數，若c為負數，所得的是復二次無理數。二次無理數是可數集。

????????1770年，拉格朗日證明一個數字能表示成循環連分數，當且僅當此數為實二次無理數[1]。例如。

二、達文波特-施密特(Davenport–Schmidt theorem);

????????在數學中，特別是在丟番圖近似領域，達文波特-施密特定理告訴我們某種實數可以用另一種實數來近似。具體來說，它告訴我們，我們可以通過使用二次無理數或簡單的有理數來很好地逼近非二次的無理數。它以 Harold Davenport 和 Wolfgang M. Schmidt 的名字命名。

????????給定一個有理數或二次無理數 α，我們可以找到唯一整數 x、y 和 z，使得 x、y 和 z 不全為零，其中第一個非零是正數，它們是相對素數，我們有

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????????如果 α 是二次無理數，我們可以將 x、y 和 z 作為其最小多項式的系數。如果 α 是有理數，我們將有 x = 0。通過為每個這樣的 α 唯一確定的這些整數，我們可以將 α 的高度定義為

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????????然后定理說，對于任何既不是有理數也不是二次無理數的實數 ξ，我們可以找到無窮多個實數 α，它們是有理數或二次無理數并且滿足

????????其中 C 是任何滿足 C > 160/9 的實數。 [1]

????????雖然該定理與 Roth 定理有關，但它的真正用途在于它是有效的，即對于任何給定的 ξ 都可以計算出常數 C。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的基础数学：关于二次无理数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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