1 問題的限制 & 定義

在本文中，我們假設(shè)有少量不同的評級，每個(gè)評級都可以被視為一個(gè)離散的分類值。

因此，在以下討論中將忽略評級之間的排序。 例如，三個(gè)評分（如“喜歡”、“中性”和“不喜歡”）將被視為無序離散值。

在不同評級數(shù)量很少的情況下，可以合理使用這種近似值，而不會顯著降低準(zhǔn)確性。

????????我們假設(shè)有l(wèi)個(gè)離散的評級，我們標(biāo)記為v1,.....,vl。同時(shí)我們也有一個(gè)和別的協(xié)同過濾類似的評分矩陣R

2 基于貝葉斯的協(xié)同過濾

????????考慮第u個(gè)用戶，它對集合Iu中的條目有打分?，F(xiàn)在我們想要預(yù)測用戶u沒有打分的條目j的打分情況（也就是預(yù)測）的值【只能從v1,.....,vl 里面選擇一個(gè)】

? ? ? ? 于是我們可以預(yù)測，已知Iu里面的打分情況，為v1,.....,vl中某一個(gè)的條件概率，即：

? ? ? ? 這也就是一個(gè)條件概率，于是使用貝葉斯定理，我們有：

?

? ? ? 最大的一個(gè)? ?就是最有可能的打分值

?????????與此同時(shí)，我們要知道?，也就是右邊的分母部分，是和vs取哪個(gè)沒有關(guān)系的（獨(dú)立的），所以為了方便起見，可以去掉

? ? ? ? 于是3.4可以簡化為：

?那么，怎么求右邊的這兩項(xiàng)呢？

?????????（先驗(yàn)概率），可以通過：（所有給j條目打分為vs的用戶數(shù)）/（所有給j條目打分的用戶數(shù)）來計(jì)算

? ? ? ? 【注意分母是給j條目打過分的用戶數(shù)，而不是所有用戶數(shù)】

就得利用我們這里假設(shè)的，各個(gè)打分之間是獨(dú)立的來計(jì)算了

?

其中，每一個(gè)?的計(jì)算方法是：（所有給j打分為vs，同時(shí)給k打分為的用戶數(shù)）/（所有給j打分為vs的用戶數(shù)）

?所以，3.4式可以再次改寫為：

?2.1 ruj后驗(yàn)概率的用處

1）計(jì)算最大的后驗(yàn)概率，他就是ruj的預(yù)測值

????????這種方法將評級純粹視為分類值，忽略了各種評級之間的所有排序。

????????當(dāng)可能的評級數(shù)量很少時(shí)，這是一種合理的使用方法。 ?

2）將預(yù)測值估計(jì)為所有評級的加權(quán)平均值，其中評級的權(quán)重是其求得的后驗(yàn)概率。

?當(dāng)評分分布的粒度更大時(shí)，這種方法更可取。

3 解決過擬合問題

????????當(dāng)基礎(chǔ)評分矩陣稀疏且觀察到的評分?jǐn)?shù)量很少時(shí)，就會出現(xiàn)問題。?在這種情況下，數(shù)據(jù)驅(qū)動的估計(jì)可能不會保持穩(wěn)健。

????????例如，如果只有少數(shù)用戶對第 j 個(gè)項(xiàng)目指定了評分，則先驗(yàn)概率 的估計(jì)不太可能是穩(wěn)健的。最極端的情況，如果沒有用戶為第 j 個(gè)項(xiàng)目指定評分，則估計(jì)的形式為 0/0，這是不確定的。

????????此外，方程 3.6 右側(cè)的每個(gè)的估計(jì)可能比先驗(yàn)概率的估計(jì)更不可靠。這是因?yàn)橹挥幸恍〔糠?為條件。在這種情況下，評分矩陣中需要分析的部分只是那些為項(xiàng)目 j 指定了評分 vs 的用戶。如果這樣的用戶數(shù)量少，估計(jì)會不準(zhǔn)確，公式3.6中的乘法項(xiàng)會產(chǎn)生很大的誤差。

?一種解決方法是使用拉普拉斯平滑

我們原先對于先驗(yàn)概率 的計(jì)算方法為：

?拉普拉斯平滑后是：

換句話說，如果沒有任何用戶為條目j打分，先驗(yàn)概率也不會是0/0，而是1/l

α的取值會決定平滑的程度，α越大越平滑，但是結(jié)果對于數(shù)據(jù)也就越不敏感。

同理也可以用拉普拉斯平滑來處理

?4 舉例

????????比如我們有這樣一個(gè)打分（打分這里只有可能是±1）?，我們現(xiàn)在想預(yù)測第三個(gè)用戶的兩個(gè)缺失打分

????????

注：這里出于簡化考慮，沒有使用拉普拉斯平滑? ? ? ?

我們先看第一個(gè)item，可能是1，可能是-1。

我們先計(jì)算1->3打分是1時(shí)候的條件概率?

可以看出來概率是1/8

再看1->打分是-1時(shí)候的條件概率?

?1/8 ＞0 ，所以這一項(xiàng)打分應(yīng)該為1

?

同理，最后一項(xiàng)可得打分為-1

總結(jié)

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