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《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记6

發布時間：2025/4/5 编程问答 26 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记6 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

《基于張量網絡的機器學習入門》學習筆記6

密度算符(密度矩陣)
- 具體到坐標表象
- - 在純態上
  - 在混合態上
- 純態下的密度算符
- 混合態下的密度算符
- 密度算符的性質
- 量子力學性質的密度算符描述
- - 第一公設(態描述)
  - 第二公設(態演化)
  - 第三公設(測量公設)
  - 第四公設(態空間擴展公設)
- 約化密度算子

密度算符(密度矩陣)

密度算符(也稱為密度矩陣)是對量子態的一種不同的描述方法。用密度算符描述量子系統在數學上完全等價于用狀態向量描述(即所有量子力學的假設都可以用密度算符的語言重新描述)。但密度算符在描述未知量子系統和復合系統子系統方面更具優越性。
定義：系綜——設置子系統以概率 $p_i$ 處于狀態 $∣?i?\mathinner{|\phi_i\rangle}$ ，稱 ${pi,∣?i?}\{p_i,\mathinner{|\phi_i\rangle}\}$ 為一個系綜，其中 $pi≥0p_i\geq0$ ，且 $∑ipi∣?i???i∣\sum\nolimits_{i}p_i\mathinner{|\phi_i\rangle\mathinner{\langle\phi_i|}}$ 它是一個跡為 $1$ 的半正定厄米算子

定義：純態——在密度算子的定義中，若系統以概率 $1$ 處于某個態 $∣??\mathinner{|\phi\rangle}$ ，即系統由一個態矢表示，則稱該系統是一個純態，其密度算子為 $∣?i???i∣\mathinner{|\phi_i\rangle\mathinner{\langle\phi_i|}}$

定義：混合態——若定義中每一個概率 $p_i$ 都不為 $1$ ，則說明系統只能由若干不同的態矢描述，每個子系統 $∣?i?\mathinner{|\phi_i\rangle}$ 以一定的概率 $p_i$ 出現，這樣的系統稱為混合態
混合態與純態的區別：兩者最打的區別是 $tr(ρ純2)=1tr(\rho_{純}^2)=1$ ，而 $tr(ρ混2)<1tr(\rho_{混}^2)<1$

具體到坐標表象

在純態上

$ψ(x)=c1ψ1(x)+c2ψ2(x)\psi(x)=c_1\psi_1(x)+c_2\psi_2(x)$
坐標取 $x_0$ 的概率密度為： $p(x0)=∣ψ(x0)∣2=∣c1ψ1(x0)+c2ψ2(x0)∣2p(x_0)=|\psi(x_0)|^2=|c_1\psi_1(x_0)+c_2\psi_2(x_0)|^2$

在混合態上

$p(x0)=∣ψ1(x0)∣2p1+∣ψ2(x0)∣2p2p(x_0)=|\psi_1(x_0)|^2p_1+|\psi_2(x_0)|^2p_2$

總之，在純態下，兩個態之間發生干涉，而在混合態下，無干涉現象發生。純態稱為概率幅的疊加，稱為相干疊加，疊加的結果形成一個新的狀態；混合態為概率的疊加，稱為不相干疊加。

純態下的密度算符

定義：密度算符——在數學上等價于狀態向量方法，但在某些量子力學的應用場景下利用起來更為方便。可以利用密度算符給出任意力學量 $F$ 在該狀態上取值的概率與平均值
F
如果對于一個歸一化態矢(純態) $∣ψ?\mathinner{|\psi\rangle}$ 來說， $F$ 是一個力學量可觀測量。對應的本征值和本征矢量分別為 $f_1$ 和 $∣φi?\mathinner{|\varphi_i\rangle}$ ，算符 $F^\hat{F}$ 的測量平均值為： $?F?=?ψ∣F^∣ψ?\langle F\rangle=\langle\psi|\hat{F}|\psi\rangle$
任選一組正交歸一完備基 ${∣i?}\{|i\rangle\}$ ，有： $?F?=∑i?ψ∣i??i∣F^∣ψ?=∑i?i∣F^∣ψ??ψ∣i?\langle F\rangle=\sum\limits_i\langle\psi|i\rangle\langle i|\hat{F}|\psi\rangle=\sum\limits_i\langle i|\hat{F}|\psi\rangle\langle\psi|i\rangle$
根據純態下的密度算符為： $ρ^=∣ψ??ψ∣\hat{\rho}=|\psi\rangle\langle\psi|$ ，則有： $?F?=∑i?i∣F^ρ^∣i?=Tr(F^ρ^)\langle F\rangle=\sum\limits_i\langle i|\hat{F}\hat{\rho}|i\rangle=Tr(\hat{F}\hat{\rho})$
顯然，密度算符是一個投影算符。
力學量 $F$ 取 $f_i$ 值的概率為 $p(fi)=∣?φi∣ψ?∣2=?φi∣ψ??ψ∣φi?=?φi∣ρ∣φi?p(f_i)=|\langle\varphi_i|\psi\rangle|^2=\langle\varphi_i|\psi\rangle\langle\psi|\varphi_i\rangle=\langle\varphi_i|\rho|\varphi_i\rangle$ ，是密度算符在算符 $F^\hat{F}$ 的第 $i$ 個本征態上的平均值。
可見，密度算符可以給出任意力學量 $F$ 在該狀態上取值的概率與平均值，因此，純態下的密度算符是可以代替態矢來描述純態的一個算符。

混合態下的密度算符

對于混合態的定義而言，一個物理量 $F$ 的平均值要通過兩次求平均實現。
第一次。進行量子力學平均，即求出力學量 $F$ 在每個參與態 $∣ψi?|\psi_i\rangle$ 上的平均值 $?φi∣F^∣φi?\langle\varphi_i|\hat{F}|\varphi_i\rangle$
第二次。進行統計平均，即求出以各自概率出現的量子力學平均的平均(加權平均):
$?F?=∑ipi?ψ∣F^∣ψ?\langle F\rangle=\sum\limits_ip_i\langle\psi|\hat{F}|\psi\rangle$
類似純態的做法，可以得到：
$?F?=∑i∑jpi?ψi∣j??j∣F^∣ψi?=∑j?j∣F^[∑i∣ψi?pi?ψi∣]∣j?\langle F\rangle=\sum\limits_i\sum\limits_jp_i\langle\psi_i|j\rangle\langle j|\hat{F}|\psi_i\rangle=\sum\limits_j\langle j|\hat{F}[\sum\limits_i|\psi_i\rangle p_i\langle\psi_i|]|j\rangle$

混合態下的密度算符： $ρ^=∑i∣ψi?pi?ψi∣,∑ipi=1\hat{\rho}=\sum\limits_i|\psi_i\rangle p_i\langle\psi_i|,\sum\limits_ip_i=1$ ，則量子力學量 $F$ 的平均值可以寫成
$?F?=∑j?j∣F^[∑i∣ψi?pi?ψi∣]∣j?=∑j?j∣F^ρ^∣j?=Tr(F^ρ^)\langle F\rangle=\sum\limits_j\langle j|\hat{F}[\sum\limits_i|\psi_i\rangle p_i\langle\psi_i|]|j\rangle=\sum\limits_j\langle j|\hat{F}\hat{\rho}|j\rangle=Tr(\hat{F}\hat{\rho})$
力學量 $F$ 的取值概率為：
$p(fi)=∑j∣?φi∣ψj?∣2pi=∑j?φi∣ψj?pj?ψj∣φi?=?φi∣ρ∣φi?p(f_i)=\sum\limits_j|\langle\varphi_i|\psi_j\rangle|^2p_i=\sum\limits_j\langle\varphi_i|\psi_j\rangle p_j\langle\psi_j|\varphi_i\rangle=\langle\varphi_i|\rho|\varphi_i\rangle$
上述兩式與純態有同樣的形式，只不過兩種的密度算符的定義不同而已。

密度算符的性質

性質一：對于密度算符 $ρ^\hat{\rho}$ (在量子信息表述中常簡寫為 $ρ\rho$ )有：

性質四：密度算符可以進行譜分解

量子力學性質的密度算符描述

第一公設(態描述)

任意鼓勵的物理系統與希爾伯特空間相關聯。系統可以自由作用在狀態空間的密度算符完全描述。密度算符是一個半正定、跡為 $1$ 的算子 $ρ\rho$ 。如果系統以概率 $p_i$ 處于狀態 $ρi\rho_i$ ，則系統的密度算子為 $∑ipiρi\sum\nolimits_ip_i\rho_i$

第二公設(態演化)

若系統在某時刻狀態為 $ρ\rho$ ，經過一段時間變為 $ρ′\rho^{'}$ ，則必有某幺正矩陣 $U$ ，使得 $ρ′=UρU?\rho^{'}=U\rho U^{\dagger}$

第三公設(測量公設)

若系統在測量前的狀態是 $ρ\rho$ ，測量由算子 ${M_i\}$ 描述，其中 $i$ 表示可能出現的測量結果，測量算子滿足完備性關系 $∑iMi?Mi=I\sum\nolimits_iM_i^{\dagger}M_i=I$ ，則測量得到 $i$ 的概率為 $p(i)=tr(Mi?Miρ)p(i)=tr(M_i^{\dagger}M_i\rho)$

第四公設(態空間擴展公設)

復合系統的狀態空間是物理系統狀態空間的張量積。若復合系統的子系統分別編號為 $1$ 到 $n$ ，每個子系統 $i$ 處于態 $ρi\rho_i$ ，則復合系統態為 $ρ1?ρ2???ρn\rho_1\otimes\rho_2\otimes\cdots\otimes\rho_n$

密度算符在描述量子力學方面與態矢量等價，但是在描述未知狀態的量子系統和復合系統的子系統這兩個方面上，具有較為突出的作用。

約化密度算子

約化密度算子是分析復合量子系統必不可少的工具。

定義：約化密度算子——假設有物理系統 $A$ 和 $B$ ，其狀態由密度算子 $ρAB\rho^{AB}$ 描述，針對系統 $A$ 和 $B$ 的約化密度算子定義為：
$ρA≡trB(ρAB)ρB≡trA(ρAB)\rho^A\equiv tr_B(\rho^{AB})\quad\rho^B\equiv tr_A(\rho^{AB})$
其中 $tr_B$ 是一個算子映射，稱為在系統 $B$ 上的偏跡。

定義：偏跡——數學定義如下：
$ρB≡trA(ρAB)=trA(∣a1??a2∣?∣b1??b2∣)=∣b1??b2∣trA(∣a1??a2∣)=∣b1??b2∣?a2∣a1?ρA≡trB(ρAB)=trB(∣a1??a2∣?∣b1??b2∣)=∣a1??a2∣trB(∣b1??b2∣)=∣a1??a2∣?b2∣b1?\rho^B\equiv tr_A(\rho^{AB})=tr_A(|a_1\rangle\langle a_2|\otimes|b_1\rangle\langle b_2|)=|b_1\rangle\langle b_2|tr_A(|a_1\rangle\langle a_2|)=|b_1\rangle\langle b_2|\langle a_2|a_1\rangle \\ \rho^A\equiv tr_B(\rho^{AB})=tr_B(|a_1\rangle\langle a_2|\otimes|b_1\rangle\langle b_2|)=|a_1\rangle\langle a_2|tr_B(|b_1\rangle\langle b_2|)=|a_1\rangle\langle a_2|\langle b_2|b_1\rangle$ 一般來說，復合系統處于純態，其子系統也可能為混合態。
例如 $B e l l$ 態是一個兩量子比特系統純態： $∣ψ+?=(12)(∣0(1)?∣1(2)?+∣1(1)?∣0(2)?)|\psi^+\rangle=(\frac{1}{\sqrt{2}})(|0^{(1)}\rangle|1^{(2)}\rangle+|1^{(1)}\rangle|0^{(2)}\rangle)$
其密度算子為：
$ρ=∣ψ+??ψ+∣=12(∣0(1)?∣1(2)??1(2)∣?0(1)∣+∣0(1)?∣1(2)??0(2)∣?1(1)∣)+∣1(1)?∣0(2)??1(2)∣?0(1)∣+∣1(1)?∣0(2)??0(2)∣?1(1)∣))\rho=|\psi^+\rangle\langle\psi^+|=\frac{1}{2}(|0^{(1)}\rangle|1^{(2)}\rangle\langle1^{(2)}|\langle0^{(1)}|+|0^{(1)}\rangle|1^{(2)}\rangle\langle0^{(2)}|\langle1^{(1)}|)+\\ \quad\quad|1^{(1)}\rangle|0^{(2)}\rangle\langle1^{(2)}|\langle0^{(1)}|+|1^{(1)}\rangle|0^{(2)}\rangle\langle0^{(2)}|\langle1^{(1)}|))$

描述量子比特 $1$ 的密度算子為：

顯然，該密度算子的平方跡小于 $1$ ,且它表示的狀態不能用一個態矢表示，是一個混合態。

本周就到這里了哦！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记6的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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