臺灣國立大學郭彥甫Matlab教程筆記（21）

today:
linear equation 線性方程
linear system 線性系統

我們先看第一部分

linear equation

假定一個線性方程組：

下面我們用矩陣的形式表示這個二元一次方程組：Ax=b的形式

WHy matrix form？

可能多元，問題本身很復雜，矩陣方法可以通吃。
下面是一道電路題目：給定電源電壓和電阻值，求解電流值是多少

老師口中的tilde 是波浪線的意思

這道題目的求解需要用到基爾霍夫電流定律和基爾霍夫電壓定律，這里不詳細展開
基爾霍夫電壓定律 voltage law：一個回路電壓和為零
基爾霍夫電流定律 current law：一個節點的流入電流和流出電流代數和為0

列出來的線性方程組如下：

我們需要求解是i，轉化成矩陣是這樣的形式：

得到的矩陣為：

usually when solving linear equations:
1.
A and b are known
2.
x is unknown

solving linear equations求解線性方程

兩類方法：
1.消去法 successive elimination (through factorization)
2.克拉姆法則(Cramer’s method)

第一類消去法里面又分類

第一種：高斯消去法Gaussian Elimination

例題：

把方程組寫成矩陣的形式，增廣矩陣

利用矩陣的性質，第一行*（-2）加到第二行中，第一行乘以（-1）加到第三行中，得到下面的矩陣（行列式，矩陣的化簡，多出現0，便于計算和分析）下圖得到上三角

這樣就可以計算出來x3等于多少 ，x3=1（只看第三行）
然后把x3=1帶入到第二個方程，解出來x2，然后再代入到第一個方程，解出來x1

這個過程就是高斯消去法的思路

下面我們看在matlab中如何使用Gaussian Elimination

Gaussian Elimination --rref()

首先把方程組表示成為增廣矩陣的形式

代碼表示：
[A b]表示的是一個增廣矩陣

A=[1 2 1 ;2 6 1;1 1 4];
b=[2;7;3];
R=rref([A b])

我們執行這段代碼看看這個方程組解的情況：

以上表示x1=-3；x2=2;x3=1;也就是方程組的解

接著看下一個消去的方法：

LU Factorization追趕法

這個是我一篇博文里記錄的：追趕法
factorization 是因數分解的意思
L：lower-triangular matrix下三角矩陣
U：upper-triangular matrix上三角矩陣
思路是把A矩陣拆分成兩個三角陣

兩個三角陣是這樣的形式：A等于L的逆矩陣乘以U矩陣

因式分解矩陣的目的是：把L的inverse 乘以U代入得到下式，然后把Ux令為y，然后解的問題就轉化為：先求y，然后求x。
這樣處理，因為三角行列式有一半是0，求解起來變得簡單。

知道追趕法的原理了，我們現在來看一下下三角矩陣和上三角矩陣

下面的問題是：如何得到這個L和U矩陣呢？
下圖中左邊乘以很多Li，最終是讓右邊成為一個上三角矩陣（左下角全為零），這些L的目的是一列一列的來計算，一列一列的讓其變成零

通過矩陣乘法，左邊乘
A=inv（L）U
LA=Linv（L）*U
LA=U

怎么算呢？舉個例子

給定一個A矩陣

解體過程：
因為A左邊乘的是一個下三角矩陣，其主對角線上的元素全為1，右上角全為零。
現在，讓L左下角等于什么，使得運算完成只有右邊U的第一列為零？

求解：u（2，1）是L的第二行A的第一列得到的結果，可以求得 L（2，1）=-2
同理u（3,1）=L的第三行A的第一列，可以求得L（3，1）=-4
所以，把這兩個數放進去，計算

然后以此類推：L1A左邊還要乘以L2（也是一個下三角矩陣：對角線還是1）

L2（3，2）需要填什么使得右邊U第二列下面也變成零（使之不斷朝向上三角矩陣靠近）
同理，L2（3，2）=-2
這樣就算出來U上三角矩陣長什么樣子

而且，我們有了L2和L1，所有下三角矩陣也有了 L=L2*L1

下一步呢？
算出來L的inverse， 和b矩陣，來求y矩陣

求出來y之后，用u矩陣和y矩陣來求x即可。

通過以上具體的例子，讀者肯定對這個追趕法（上下三角分解法）的原理有了進一步的認識。
下面就看matlab中具體指令是怎么樣的

LU Factorization -lu()函數

還是這個矩陣A,矩陣b

A=[1 1 1;2 3 5 ; 4 6 8];
[L,U,P]=lu(A);
通過函數lu()可以求出原矩陣的上三角矩陣U和下三角陣L
然后：
inv(L)%L矩陣的逆矩陣

算出來，上面兩個式子：

下面筆者實操一下看看具體的matlab實現過程：

代碼：
A=[1 1 1;2 3 5 ; 4 6 8];
[L,U,P]=lu(A)%得到下三角矩陣和上三角陣
得到的結果：

然后需要求inv(L)
invL=inv(L)
求得結果：

然后需要invL*y=b來求解，需要回顧前面老師講的線性方程組的求法：高斯消去法rref()函數
當然要輸入進來b矩陣 b=[1 2 7]’

用高斯消去法求解y
y=rref([invL,b])
求得y矩陣：

同樣的道理，高斯消去法求解x矩陣
這里y的解分別是y1=2,y2=7.5,y3=4;
需要重新整理y矩陣，得到y的解矩陣

y1=y(:,4)
結果：

然后求解x
x=rref([U,y1])
得到x的結果：

x1=x(:,4)

筆者：上次參加上海市數學建模培訓時候，2018年A題關于防熱服的題目，其中關于矩陣的運算用到了追趕法，因為數據量比較大，得到的線性方程組很多，計算量很大，直接來高斯消去法很慢或者解不出來，老師講到的數據處理的技巧就是追趕法的應用。

希望讀者好好體會這個追趕法的使用，可以很好的簡化計算的復雜度，尤其是數據量很大的時候。

【總結一下】
本文記錄了線性方程組的一些解法。
【1】高斯消去法rref()函數。
【2】追趕法：上下三角陣：Ax=b ,A =inv(L)U
得到 y=Ux
先求解：inv(L)*y=b
再求解：Ux=y

總結

以上是生活随笔為你收集整理的台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记（21）linear equations(高斯消去法和追赶法)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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