一、定義：

對某個多項(xiàng)式函數(shù)，已知有給定的k?+?1個取值點(diǎn)：

其中對應(yīng)著自變量的位置，而對應(yīng)著函數(shù)在這個位置的取值。

假設(shè)任意兩個不同的xj都互不相同，那么應(yīng)用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項(xiàng)式為：

其中每個為拉格朗日基本多項(xiàng)式（或稱插值基函數(shù)），其表達(dá)式為：

[3]

拉格朗日基本多項(xiàng)式的特點(diǎn)是在上取值為1，在其它的點(diǎn)上取值為0。

范例

假設(shè)有某個二次多項(xiàng)式函數(shù)，已知它在三個點(diǎn)上的取值為：

要求的值。

首先寫出每個拉格朗日基本多項(xiàng)式：

然后應(yīng)用拉格朗日插值法，就可以得到的表達(dá)式（為函數(shù)的插值函數(shù)）：

此時代入數(shù)值就可以求出所需之值：。

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證明

存在性

對于給定的k+1個點(diǎn)：，拉格朗日插值法的思路是找到一個在一點(diǎn)取值為1，而在其他點(diǎn)取值都是0的多項(xiàng)式。這樣，多項(xiàng)式在點(diǎn)取值為，而在其他點(diǎn)取值都是0。而多項(xiàng)式就可以滿足

在其它點(diǎn)取值為0的多項(xiàng)式容易找到，例如：

它在點(diǎn)取值為：。由于已經(jīng)假定兩兩互不相同，因此上面的取值不等于0。于是，將多項(xiàng)式除以這個取值，就得到一個滿足“在取值為1，而在其他點(diǎn)取值都是0的多項(xiàng)式”：

這就是拉格朗日基本多項(xiàng)式。

唯一性

次數(shù)不超過k的拉格朗日多項(xiàng)式至多只有一個，因?yàn)閷θ我鈨蓚€次數(shù)不超過k的拉格朗日多項(xiàng)式：和，它們的差在所有k+1個點(diǎn)上取值都是0，因此必然是多項(xiàng)式的倍數(shù)。因此，如果這個差不等于0，次數(shù)就一定不小于k+1。但是是兩個次數(shù)不超過k的多項(xiàng)式之差，它的次數(shù)也不超過k。所以，也就是說。這樣就證明了唯一性[4]。

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幾何性質(zhì)

拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多項(xiàng)式（由某一組確定）可以看做是由次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式所組成的線性空間：的一組基底。首先，如果存在一組系數(shù)：使得，

，

那么，一方面多項(xiàng)式P是滿足的拉格朗日插值多項(xiàng)式，另一方面P是零多項(xiàng)式，所以取值永遠(yuǎn)是0。所以

。

這證明了是線性無關(guān)的。同時它一共包含n+1個多項(xiàng)式，恰好等于的維數(shù)。所以構(gòu)成了的一組基底。

拉格朗日基本多項(xiàng)式作為基底的好處是所有的多項(xiàng)式都是齊次的（都是n次多項(xiàng)式）。

?

優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)

拉格朗日插值法的公式結(jié)構(gòu)整齊緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計算中，當(dāng)插值點(diǎn)增加或減少一個時，所對應(yīng)的基本多項(xiàng)式就需要全部重新計算，于是整個公式都會變化，非常繁瑣[5]。這時可以用重心拉格朗日插值法或牛頓插值法來代替。此外，當(dāng)插值點(diǎn)比較多的時候，拉格朗日插值多項(xiàng)式的次數(shù)可能會很高，因此具有數(shù)值不穩(wěn)定的特點(diǎn)，也就是說盡管在已知的幾個點(diǎn)取到給定的數(shù)值，但在附近卻會和“實(shí)際上”的值之間有很大的偏差（如右下圖）[6]。這類現(xiàn)象也被稱為龍格現(xiàn)象，解決的辦法是分段用較低次數(shù)的插值多項(xiàng)式。

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重心拉格朗日插值法

重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一種改進(jìn)。在拉格朗日插值法中，運(yùn)用多項(xiàng)式

拉格朗日插值法的數(shù)值穩(wěn)定性：如圖，用于模擬一個十分平穩(wěn)的函數(shù)時，插值多項(xiàng)式的取值可能會突然出現(xiàn)一個大的偏差（圖中的14至15中間）

可以將拉格朗日基本多項(xiàng)式重新寫為：

定義重心權(quán)[7][8]

上面的表達(dá)式可以簡化為：

于是拉格朗日插值多項(xiàng)式變?yōu)?#xff1a;

即所謂的重心拉格朗日插值公式（第一型）或改進(jìn)拉格朗日插值公式。它的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)插值點(diǎn)的個數(shù)增加一個時，將每個都除以，就可以得到新的重心權(quán)，計算復(fù)雜度為，比重新計算每個基本多項(xiàng)式所需要的復(fù)雜度降了一個量級。

將以上的拉格朗日插值多項(xiàng)式用來對函數(shù)插值，可以得到：

因?yàn)槭且粋€多項(xiàng)式。

因此，將除以后可得到：

[7]

這個公式被稱為重心拉格朗日插值公式（第二型）或真正的重心拉格朗日插值公式。它繼承了（1）式容易計算的特點(diǎn)，并且在代入x值計算的時候不必計算多項(xiàng)式[7]。它的另一個優(yōu)點(diǎn)是，結(jié)合切比雪夫節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值的話，可以很好地模擬給定的函數(shù)，使得插值點(diǎn)個數(shù)趨于無窮時，最大偏差趨于零[7]。同時，重心拉格朗日插值結(jié)合切比雪夫節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值可以達(dá)到極佳的數(shù)值穩(wěn)定性。第一型拉格朗日插值是向后穩(wěn)定的，而第二型拉格朗日插值是向前穩(wěn)定的，并且勒貝格常數(shù)很小[9]。

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的拉格朗日差值法----算法学习的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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