PCA（主成分分析）

PCA，Principle Component Analysis，即主成分分析法，是特征降維的最常用手段。顧名思義，PCA 能從冗余特征中提取主要成分，在不太損失模型質(zhì)量的情況下，提升了模型訓練速度。

如上圖所示，我們將樣本到紅色向量的距離稱作是投影誤差（Projection Error）。以二維投影到一維為例，PCA 就是要找尋一條直線，使得各個特征的投影誤差足夠小，這樣才能盡可能的保留原特征具有的信息。

假設我們要將特征從 $n$ 維度降到 $k$ 維：PCA 首先找尋 $k$ 個 $n$ 維向量，然后將特征投影到這些向量構成的 $k$ 維空間，并保證投影誤差足夠小。下圖中中，為了將特征維度從三維降低到二位，PCA 就會先找尋兩個三維向量 $u^{(1)}$,$u^{(2)}$ ，二者構成了一個二維平面，然后將原來的三維特征投影到該二維平面上：

算法流程

假定我們需要將特征維度從 $n$ 維降到 $k$ 維。則 PCA 的執(zhí)行流程如下：

特征標準化，平衡各個特征尺度：
$$x_j^{(i)}=\frac{x_j^{(i)}?{\mu }_j}{sj},{\mu }_j為特征j的均值，s_j為特征j的標準差。$$

計算協(xié)方差矩陣 $\Sigma$ ：
$$\Sigma =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(x^{(i)})(x^{(i)}{)}^T=\frac{1}{m}?X^{T}X$$

通過奇異值分解（SVD），求取 $\Sigma$ 的特征向量（eigenvectors）：
$$(U,S,V^T)=SVD(\Sigma )$$

從 $U$ 中取出前 $k$ 個左奇異向量，構成一個約減矩陣 $Ureduce$ :
$$U_{reduce}=(u^{(1)},u^{(2)},?,u^{(k)})$$

計算新的特征向量： $z^{(i)}$
$$z^{(i)}=U_{reduce}^T?x^{(i)}$$

特征還原

因為PCA僅保留了特征的主成分，所以PCA是一種有損的壓縮方式，假定我們獲得新特征向量為：
$$z=U_{reduce}^{T}x$$

那么，還原后的特征 $x_{approx}$ 為：
$$x_{approx}=U_{reduce}z$$

降到多少維才合適？

從 PCA 的執(zhí)行流程中，我們知道，需要為 PCA 指定目的維度 $k$ 。如果降維不多，則性能提升不大；如果目標維度太小，則又丟失了許多信息。通常，使用如下的流程的來評估 $k$ 值選取優(yōu)異：

求各樣本的投影均方誤差:
$$\min \frac{1}{m}\sum _{j=1}^m||x^{(i)}?x_{approx}^{(i)}|{|}^2$$

求數(shù)據(jù)的總變差：
$$\frac{1}{m}\sum _{j=1}^m||x^{(i)}|{|}^2$$

評估下式是否成立:
$$\frac{\min \frac{1}{m}{\sum }_{j=1}^m||x^{(i)}?x_{approx}^{(i)}|{|}^2}{\frac{1}{m}{\sum }_{j=1}^m||x^{(i)}|{|}^2}\le ?$$

其中， $?$ 的取值可以為 $0.01,0.05,0.10,?0.01,0.05,0.10,?$ ，假設 $?=0.01=0.01$ ，我們就說“特征間 99% 的差異性得到保留”。

不要提前優(yōu)化

由于 PCA 減小了特征維度，因而也有可能帶來過擬合的問題。PCA 不是必須的，在機器學習中，一定謹記不要提前優(yōu)化，只有當算法運行效率不盡如如人意時，再考慮使用 PCA 或者其他特征降維手段來提升訓練速度。

不只是加速學習

降低特征維度不只能加速模型的訓練速度，還能幫我們在低維空間分析數(shù)據(jù)，例如，一個在三維空間完成的聚類問題，我們可以通過 PCA 將特征降低到二維平面進行可視化分析。

例如下表中，我們有將近幾十個特征來描述國家的經(jīng)濟水平，但是你仔細觀察發(fā)現(xiàn)，我們很難直觀的看出各個國家的經(jīng)濟差異。

借助于 PCA，我們將特征降低到了二維，并在二維空間進行觀察，很清楚的就能發(fā)現(xiàn)美國和新加坡具有很高的經(jīng)濟水平：

參考資料

• 強大的矩陣奇異值分解(SVD)及其應用

總結

以上是生活随笔為你收集整理的7.2 PCA-机器学习笔记-斯坦福吴恩达教授的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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